专题2.5 对数与对数函数（模拟+真题,精练）解析版.docx

专题2.5对数与对数函数

一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．（23-24高二下·江苏常州·期末）已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先将集合化简，再利用交集运算的定义求解.

【详解】集合，

因为，

所以，即.

故选：B

2．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】，得，再根据换底公式及对数的运算性质即可得解.

【详解】由，得，

则.

故选：A.

3．（2024·陕西铜川·模拟预测）设，，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性比较大小.

【详解】因为在上单调递增，又，所以，即，

因为，所以，即，

因为在上单调递增，

所以，所以，

因为，所以，即，

所以．

故选：D．

4．（24-25高三上·江西·开学考试）已知则不等式的解集是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】判断在上的单调性，将不等式等价于，由一元二次不等式的解法即可得解.

【详解】，可得当时，单调递减，当时，单调递减，且时函数连续，则在上单调递减，

不等式，可化为，即，

解得：，则原不等式的解集为：，

故选：A

5．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】借助指数函数的单调性与绝对值的性质可得集合，借助对数函数定义域计算可得集合，即可得，再利用交集定义即可得解.

【详解】由题意知，

，故，

所以．

故选：A．

6．（23-24高二下·陕西榆林·期末）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到5，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，得，利用对数运算性质可解.

【详解】根据题意，得，

则，即.

故选：A

7．（23-24高二下·河北邢台·期末）已知，，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较大小.

【详解】,

因为在上递增，且，

所以，所以，

即，

因为在上递增，且，

所以，即，

因为在上递减，且，

所以，即

所以．

故选：D

8．（2024·重庆九龙坡·三模）正整数的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（????）

（参考数据：，，）

A．10 B．9 C．8 D．7

【答案】C

【分析】设，分析可知数列为递增数列，结合题中数据估算可知，即可得结果.

【详解】设，则，

因为，

可知数列为递增数列，

且，

，

可知，所以.

故选：C.

9．（23-24高二下·吉林·期末）已知，，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用指数函数、对数函数的性质，借助中间数比较大小.

【详解】，，且，

所以，

故选：D

10．（23-24高二下·黑龙江大庆·期末）函数,若在上单调递增，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用分段函数的单调性列不等式组，解得实数的取值范围，再由，根据的取值范围利用不等式的性质，可得答案.

【详解】函数在上单调递增，

则有，解得，

，由，有，则，

所以，得，即实数的取值范围为.

故选：B.

11．（23-24高二下·黑龙江·期末）若函数在上单调，则a的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】对分和讨论，则得到相应不等式组，解出即可.

【详解】当时，当在上单调递增时，有，解得；

当时，当在上单调递减时，有，解得.

综上，a的取值范围是.

故选：D.

12．（2024·江苏苏州·三模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定:血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了三两白酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶?（????）（参考数据:）

A．8 B．7 C．6 D．5

【答案】C

【分析】设至少经过个小时才能驾驶，由题意可得，计算即可.

【详解】设至少经过个小时才能驾驶，

则由题意得，则，

所以，

所以他至少经过6个小时才能驾驶.

故选：C.

13．（2024·江西鹰潭·模拟预测）19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数