高中数学不等式证明的常用方法经典例题.docVIP

关于不等式证明的常用方法

重难点归纳

(1)比拟法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细表达如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，那么考虑用判别式法证

(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因

2不等式证明还有一些常用的方法换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法但凡含有“至少”“惟一”或含有其他否认词的命题，适宜用反证法

典型题例

例1证明不等式(n∈N*)

知识依托此题是一个与自然数n有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等

例2求使≤a(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值

知识依托该题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值

例3a＞0，b＞0，且a+b=1求证(a+)(b+)≥

证法一(分析综合法〕证法二(均值代换法)证法三(比拟法〕证法四(综合法)证法五(三角代换法〕

稳固练习

1x、y是正变数,a、b是正常数,且=1，x+y的最小值为_

2设正数a、b、c、d满足a+d=b+c，且|a－d|＜|b－c|，那么ad与bc的大小关系是_________

3假设m＜n，p＜q，且(p－m)(p－n)＜0，(q－m)(q－n)＜0，那么m、n、p、q的大小顺序是__________

4a，b，c为正实数，a+b+c=1求证

(1)a2+b2+c2≥(2)≤6

5x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=，证明x，y，z∈［0，］

6证明以下不等式

(1)假设x，y，z∈R，a，b，c∈R+，那么z2≥2(xy+yz+zx)

(2)假设x，y，z∈R+，且x+y+z=xyz，那么≥2()

7i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n

(1)证明niA＜miA(2)证明(1+m)n＞(1+n)m

8假设a＞0，b＞0，a3+b3=2，求证a+b≤2，ab≤1

不等式知识的综合应用

典型题例

例1用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且外表积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h米，盖子边长为a米，(1)求a关于h的解析式；(2)设容器的容积为V立方米，那么当h为何值时，V最大？求出V的最大值(求解此题时，不计容器厚度)

知识依托此题求得体积V的关系式后，应用均值定理可求得最值

例2a，b，c是实数，函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，当－1≤x≤1时|f(x)|≤1

(1)证明|c|≤1；

(2)证明当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2；

(3)设a＞0，有－1≤x≤1时，g(x)的最大值为2，求f(x)

知识依托二次函数的有关性质、函数的单调性，绝对值不等式

例3设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)，方程f(x)－x=0的两个根x1、x2满足0＜x1＜x2＜

(1)当x∈［0，x1时，证明x＜f(x)＜x1；

(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜

稳固练习

1定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间［0，+∞)的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，给出以下不等式，其中正确不等式的序号是()

①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)

③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)

A①③ B②④ C①④ D②③

2以下四个命题中①a+b≥2②sin2x+≥4③设x，y都是正数，假设=1，那么x+y的最小值是12④假设|x－2|＜ε，|y－2|＜ε，那么|x－y|＜2ε，其中所有真命题的序号是__________

4二次函数f(x)=ax2+bx+1(a，b∈R，a＞0)，设方程f(x)=x的两实数根为x1，x2

(1)如果x1＜2＜x2＜4，设函数f(x)的对称轴为x=x0，求证x0＞－1；

(2)如果|x1|＜2，|x2－x1|=2，求b的取值范围

6设函数f(x)定义在R上，对任意m、n恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且当