《二阶常微分方程的解法及应用研究》8300字.doc

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二阶常微分方程的解法及应用研究

摘要

常微分方程是数学重要分支之一，这一学科蕴含着丰富的理论知识，并且能利用常微分方程解决许多学科领域以及现实生活中的问题。二阶常微分方程在实际中的运用十分广泛，但是能够求解的类型很少，一般没有通用的求解方法，因此对其求解问题的研究很有意义。

本文给出了二阶常微分方程的若干种求解方法，在第三章探讨了二阶线性微分方程的解法，包括常系数线性微分方程和变系数线性微分方程，在这一章主要介绍了特征根法、常数变易法、降阶法等求解方法。论文第四章探讨了若干类型的二阶非线性微分方程的解法，介绍了几类能够降阶的二阶微分方程，其求解的主要思想是通过变量变换进行降阶化为一阶微分方程求解，最后通过举例说明了这些求解方法的应用。

关键词：二阶；常微分方程；解法；举例应用

TOC\o1-4\h\u目录

10931第1章引言和基本概念 1

119801.1引言 1

142431.2基本概念 1

16681第2章一阶微分方程的初等解法 3

200082.1变量分离方程 3

105962.2线性微分方程 3

215612.3隐方程 4

52572.2.1可以解出的方程 4

281242.2.2可以解出的方程 5

156312.2.3不显含的方程 6

362.2.4不显含的方程 7

7752第3章二阶线性微分方程的解法 8

249353.1二阶线性微分方程的一般理论[3] 8

11093.1.1二阶齐次线性微分方程解的性质和结构 8

183943.1.2二阶非齐次线性微分方程解的性质和结构 9

258043.2二阶常系数线性微分方程的解法 9

210323.2.1二阶常系数齐次线性微分方程的解法 10

34363.2.2二阶常系数非齐次线性微分方程特解的几个解法 12

86533.2.2.1常数变易法 12

249793.2.2.2比较系数法 16

320553.2.2.3拉普拉斯变换法[3] 17

256883.3二阶变系数线性微分方程的解法 19

245703.3.1降阶法[3] 20

318593.3.2行列式解法[9] 20

208913.3.3代数方法[10] 22

21343.3.4幂级数解法[3] 23

245103.3.5欧拉方程的解法[11] 24

19495第4章二阶非线性微分方程的解法 26

160614.1不显含未知函数方程[3] 26

206034.2不显含自变量的方程[3] 27

163914.3形如的方程[12] 28

182054.4形如的方程[12] 30

9214.5形如的方程[12] 30

1310结论 32

5911参考文献 33

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第1章引言和基本概念

本课题主要研究二阶常微分方程的解法及其应用，在本章简单介绍了常微分方程的发展状况和相关基本概念。

1.1引言

17世纪，牛顿和莱布尼兹发明了微积分，常微分方程也顺势诞生。常微分方程在与天体力学相关的问题中发挥着重要作用，如行星的运动轨迹和海王星的存在都是通过微分方程证实的，这使数学家认识到了常微分方程的巨大作用。在微分方程历史进程中，欧拉首次将二阶常微分方程通过变量替换化成一阶常微分方程组，这推动了对二阶常微分方程的进一步研究，欧拉给出的恰当方程解法和特征根法均有着广泛应用。对于变系数齐次线性微分方程求解问题的研究，文献[1]中介绍到拉格朗日给出了常数变易法，该方法在二阶线性微分方程的求解问题中占有重大地位。文献[2]中详细介绍了拉普拉斯变换法，其广泛应用于工程技术和科学研究方面。

常微分方程在许多科学领域有着重要应用，许多现实问题都可以化成对常微分方程的求解问题。如文献[3,4]中提到的数学摆的运动轨迹和电磁振荡等实际问题均利用了二阶常微分方程进行求解，文献[5]总结了常微分方程在军事、医学等领域的应用，将实际问题转化成了常微分方程的求解问题。对于二阶常微分方程在实际中有着广泛的应用，但是能够求解的类型很少，所以探讨二阶常微分方程的解法是一项很有意义的工作。本文对这类方程的解法进行了探讨，给出了若干特殊二阶常微分方程的求解方法，并进行了举例应用。

1.2基本概念

有关常微分方程的基本概念可参见文献[3]，作为下文内容的预备知识。

常微分方程

自变量的个数只有一个的微分方程称为常微分方程REF_Ref1564\r\h[3]。

阶数

把微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数叫做微