圆锥曲线中的证明问题专题突破训练 高三数学二轮复习.docxVIP

证明问题

(分值：60分)

1.(13分)(2024·雅礼中学检测)如图，圆C与x轴相切于点T(2，0)，与y轴正半轴相交于M，N两点(点M在点N的下方)，且|MN|＝3.

(1)求圆C的方程；

(2)过点M任作一条直线与椭圆eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1相交于两点A，B，连接AN，BN，求证：∠ANM＝∠BNM.

2.(15分)(2024·镇江测试)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)的两条渐近线分别为l1，l2，C上一点A(4，eq\r(3))到l1，l2的距离之积为eq\f(4,5).

(1)求双曲线C的方程；

(2)设双曲线C的左、右两个顶点分别为A1，A2，T为直线l：x＝1上的动点，且T不在x轴上，直线TA1与C的另一个交点为M，直线TA2与C的另一个交点为N，直线MN与x轴的交点为P，直线l与MN的交点为Q，证明eq\f(|PM|,|PN|)＝eq\f(|QM|,|QN|).

3.(15分)(2024·湖南师大附中调研)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，A1，A2，B分别为椭圆C的左、右顶点和上顶点，直线A1B交直线l：y＝x于点P，且点P的横坐标为2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点P的直线与椭圆C交于第二象限内D，E两点，且E在P，D之间，A1E与直线l交于点M，试判断直线A1D与A2M是否平行，并说明理由.

4.(17分)(2024·无锡调研)在平面直角坐标系xOy中，动点P(x，y)与定点F(1，0)的距离和P到定直线l：x＝4的距离的比是常数eq\f(1,2)，记动点P的轨迹为W.

(1)求W的方程；

(2)过动点T(0，t)(t0)的直线交x轴于点H，交W于点A，M(点M在第一象限)，且eq\o(AT,\s\up6(→))＝2eq\o(TH,\s\up6(→)).作点A关于x轴的对称点B，连接BT并延长交W于点N.证明：直线MN斜率不小于eq\r(6).

证明问题

1.(1)解由题可知圆心的坐标为(2,r).

∵|MN|=3,

∴r2=322+22=

∴圆C的方程为(x-2)2+y?

(2)证明由圆C方程可得M(0,1),N(0,4).

①当AB斜率不存在时,∠ANM=∠BNM=0°;

②当AB斜率存在时,设AB直线方程为:y=kx+1.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

y=kx+1,x28+y24=1?

则x1+x2=-4k1+2k2,x1x

∴kAN+kBN=y

=2

=2k?

∴kAN+kBN=0,

综上所述∠ANM=∠BNM.

2.(1)解因为A(4,3)在x2a2

则16a2?3

因为l1,l2的方程分别为

bx-ay=0,bx+ay=0.

A(4,3)到l1,l2的距离之积为45

则|4b?

由①②解得a2=4,b2=1,

所以双曲线C的方程为x24-y2=1.

(2)证明因为A1(-2,0),A2(2,0),

设T(1,s),M(x1,y1),N(x2,y2),

则kM

kN

所以kNA2

因为kM

且M在双曲线上,则y12=x1

把④代入上式得:kNA2

设直线MN:x=my+t,代入③得(m2-4)y2+2mty+t2-4=0,

则y1+y2=?2mtm2

y1y2=t2?4m

由⑤得:y1

即(3m2+4)y1y2+3m(t-2)(y1+y2)+3(t-2)2=0,

把⑥⑦代入上式得:(3m2+4)×(t+2)(t?2)m2?4+3m(t-2)×?2mt

因为t≠2,所以[3(t+2)-6t+3(t-2)]m2-8t+32=0,

则8t=32,t=4.

则lMN:x=my+4,所以P点坐标为(4,0).

不妨设y1,y20,

因|PM|=(x1?4)

同理|PN|=(1+m2)

令x=my+4=1,

则yQ=-3m

同理:|QM|=(1+m

|QN|=(1+m

要证明|PM||PN|=|QM||QN|

即证明2y1y2+3m(y1+y2)=0

将t=4和⑥⑦代入上式显然成立,

所以|PM||PN|

3.解(1)因为椭圆C的离心率为32

所以c

所以a=2b,①

因为点P(2,2)在直线A1B:x?a+

所以2b?2a

由①②,解得a=2,b=1,

所以椭圆C的方程为x24+y2

(2)直线A1D与直线A2M平行.

理由如下:显然直线DE与坐标轴不垂直,设其方程为x=ty+m.

因为直线DE经过点P(2,2),

所以m=2-2t,③

联立直线DE与椭圆C的方程,消去x,得

(t2+4)y2+2mty+m2-4=0.

设D(x1,y1),E(x2,y2),M(x0,y0).

当Δ=4m2t2-4(