第4节　函数的奇偶性、周期性.pptxVIP

第二章函数INNOVATIVEDESIGN第4节函数的奇偶性、周期性

1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用.

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ZHISHIZHENDUANZICE知识诊断自测第一章

1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果?x∈D，都有－x∈D，且___________，那么函数f(x)就叫做偶函数关于____对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果?x∈D，都有－x∈D，且_______________，那么函数f(x)就叫做奇函数关于____对称f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点

2.周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_____________，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个______的正数，那么这个__________就叫做f(x)的最小正周期.f(x＋T)＝f(x)最小最小正数

常用结论与微点提醒

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)×××√解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错误.(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，且在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错误.(4)反例：f(x)＝x3，x∈[－3，5]，存在x＝1，使f(－1)＝－f(1)，但f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，(4)错误.(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.()(3)若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期.()(4)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.()

BC解析对于f(x)＝x4，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，可知f(x)＝x4是偶函数，

3.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为__________________.(－2，0)∪(2，5]解析由图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x＜－2时，f(x)＞0.综上，f(x)＜0的解集为(－2，0)∪(2，5].

4.已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(－1)＝1，则f(2025)＝______.－1解析因为函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，所以f(2025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－1.

KAODIANJUJIAOTUPO考点聚焦突破第二章

考点一函数奇偶性的判断因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数.

解显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.因为当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，所以函数f(x)为奇函数.

解显然函数f(x)的定义域为R，

感悟提升判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数.(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.

BC解析对于A，只有奇函数在x＝0处有定义时，函数的图象过原点，所以A不正确；对于B，因为函数y＝xsinx的定义域为R且f(－x)＝(－x)sin(－x)＝f(x)，所以该函数为偶函数，所以B正确；对于C，函数y＝|x＋1|－|x－1|的定义域为R，且f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，所以函数为奇函数，所以C正确；所以函数的定义域不关于原点对称，所以该函数为非奇非偶函数，所以D不正确.

D解析因为f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x).对于A，x∈R，设F(x)＝f(x)＋g(x)，则F