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第09讲正弦定理

目录

TOC\o13\h\z\u题型归纳 1

题型01正弦定理及辨析 3

题型02正弦定理解三角形 5

题型03正弦定理判定三角形解的个数 8

题型04正弦定理求外接圆半径 10

题型05正弦定理边角互化的应用 12

题型06三角形面积公式及其应用 15

题型07射影公式 19

分层练习 22

夯实基础 22

能力提升 32

知识点01正弦定理

定理

正弦定理

内容

eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)

变形形式

a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，

c＝2Rsin_C；

sinA＝eq\f(a,2R)；sinB＝eq\f(b,2R)；

sinC＝eq\f(c,2R)；

a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；

asinB＝bsinA，bsinC

＝csinB，asinC＝csinA；

eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝2R

知识点02利用正弦定理解三角形

利用正弦定理可以解决的两类问题

(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．

(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．由于三角形的形状不能唯一确定，会出现两解、一解和无解三种情况．

知识点03三角形的面积公式及应用

三角形的面积是与解三角形息息相关的内容，经常出现在高考题中，难度不大．解题的前提条件是熟练掌握三角形面积公式，具体的题型及解题策略为：

(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的有关元素之后，直接求三角形的面积，或求出两边之积及夹角正弦，再求解．

(2)把面积作为已知条件之一，与正弦定理、余弦定理结合求出三角形的其他各量．面积公式中涉及面积、两边及两边夹角正弦四个量，结合已知条件列方程求解．

题型01正弦定理及辨析

【例1】（2223高一下·黑龙江鸡西·期中）使正弦定理的成立的三角形是（）三角形

A．锐角 B．直角 C．任意 D．钝角

【答案】C

【知识点】正弦定理及辨析

【分析】利用正弦定理直接判断作答.

【详解】由正弦定理知，在一个三角形中，各边和它所对角正弦的比相等，

因此，对于任意，都有，其中分别是角所对的边，

所以正弦定理适用于任意三角形.

故选：C

【变式1】（2122高一下·山东临沂·期中）在中，，，分别为内角，，的对边，若，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【知识点】正弦定理及辨析

【分析】由正弦定理结合求得，即可求出.

【详解】由正弦定理可得，则，，又，则.

故选：C.

【变式2】（2223高一下·陕西商洛·期末）在钝角中，角A，B，C的对边分别a，b，c，已知，则A，B，C中，是钝角．

【答案】B

【知识点】正弦定理及辨析

【分析】根据三角形中的边角关系即可求解.

【详解】因为,所以，所以B是钝角．

故答案为：

【变式3】（2324高一下·安徽合肥·期中）锐角的三内角的对边分别为在上的射影长等于的外接圆半径，则的值是.

【答案】/0.5

【知识点】正弦定理及辨析

【分析】由题可得，化简即可得到答案

【详解】因为是锐角三角形，在上的射影长等于的外接圆半径，所以，

由正弦定理可得：，所以，因此.

故答案为：

题型02正弦定理解三角形

【例2】（2324高一下·新疆·期中）在中，已知，，，则（????）

A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或90°

【答案】C

【知识点】正弦定理解三角形

【分析】由正弦定理求解即可．

【详解】∵，，，

∴由正弦定理，可得：，

∵，∴或．

故选：C．

【变式1】（2324高一下·贵州·期中）在中，若，则是（????）

A． B．或 C．或 D．

【答案】C

【知识点】正弦定理解三角形

【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出角.

【详解】在中，由正弦定理得，

而，所以或．

故选：C

【变式2】（2425高一上·全国·期中）在中，，延长到D，使得，则的长度为．

【答案】

【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形

【分析】在中，由正弦定理求出；再在中，利用余弦定理，即可求出结果.

【详解】在中，，

由正弦定理可得，，即，所以，

在中，，，，

由余弦定理可得，，

所以.

故答案为：

【变式3】（2324高一下·福建福州·期末）在四边形中，，，，.

(1)求和;

(2)求.

【答案】(1)；

(2)

【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形

【分析】（1）在中应用正弦定理求出，根据三角形内角性质即可求出，由可求出；

（2）中