第二章 结构矩阵分析.pptx

第二章结构矩阵分析§2-1平面桁架（直接法，结构矩阵分析中常用的力法，处理静定问题，位移法，可处理静定静不定）p图２－１已知：p,A,E,(0,0),(a,a),(a,0)求桁架中各杆件的变形和内力

２xup②①③１３pyvq图２－２1.结构的离散化对结点及单元编号每根杆为一个单元以①,②,③加以编号；取杆的铰接点为结点，以１、２、３加以编号（总体结点序号）2.建立总体坐标系并确定结点坐标和自由度以u,v分别表示沿x,y方向的位移分量，p,q分别表示力沿x,y轴的力分量（投影）。（x1,y1）=(0,0)、（x2,y2）=(a,a)、（x3,y3）=(a,0){u1，v1}T、{u2，v2}T、{u3，v3}T{u1v1u2v2u3v3}T每个结点有两个自由度，对结点１、２、３分别为若暂时不考虑支承约束条件，整个结构的结点自由度为

3.单元分析（建立结点力与结点位移之间的关系）取一个一般性的单元，设它的两个结点在结构中的编号为i,j（单元内部的结点序号）。由材料力学可知，杆的轴向刚度为EA/L。其中Ｌ为杆的长度xupyvqijy’v’q’x’u’p’ss①图２－３α（１）单元局部坐标系一般性的单元按如下方式建立一个局部坐标系：原点：与结点i重合,x’轴：沿i,j方向,y’轴：与x’轴垂直。在单元局部坐标系中可以规定：结点自由度{u’iv’i}T，{u’jv’j}T；单元结点自由度{u’}＝{u’iv’iu’jv’j}T。

（２）局部坐标系中的单元刚度矩阵以p’i,q’i,p’j,q’j分别表示结点i,j作用于单元的力在x’,y’轴上的投影，由①号单元的静力平衡有（图2-3）有xupyvqijy’v’q’x’u’p’ss①图２－３α(2-1-1)矩阵的形式

(2-1-2)(2-1-3)若引入单元广义力矢量：其中则式（2-1-1）改写为：称为局部坐标系中的单元刚度矩阵,它只与杆的几个参数E、A、L有关，与杆的方位无关。（３）坐标变换为了研究结构整体的平衡，必须将结点给单元的力以及相应的单元刚度矩阵转换到统一的坐标系──总体坐标系。

在总体坐标系中单元结点自由度{u}＝{uiviujvj}T结点给单元的力{r}＝{piqipjqj}T结点的位移分量的坐标变换为xupyvqijy’v’q’x’u’p’ss①图２－３α单元的位移分量的坐标变换为

(2-1-４)或缩写为类似，{r’}与{r}之间的转换关系为(2-1-５)(2-1-6)(2-1-7)所以将（2-1-4）、（2-1-5）代入（2-1-2）有(2-1-8)(2-1-9)式（2-1-9）称为单元在总体坐标系中的单元刚度矩阵。

(2-1-10)（４）单元刚度矩阵的具体形式单元①：(2-1-11)（i）单元刚度矩阵是对称矩阵(ii)单元刚度矩阵是奇异矩阵

（５）单元刚度矩阵的物理意义和特点平面桁架单元在总体坐标系中刚度矩阵的一般形式为(2-1-8)令则即单元刚度矩阵的每一列相当于一组特定位移下的结点力

表2-1平面桁架单元刚度矩阵的物理意义单元结点位移作用于单元的结点力{1000}T{k11k21k31k41}T{0100}T{k12k22k32k42}T{0010}T{k13k23k33k43}T{0001}T{k14k24k34k44}Tk11k41k21k311jik12k42k22k321jik33k43k23jik131k44jk24ik34k141

４.总体平衡方程总体刚度矩阵的组装p１２R3Y②①③１３R1X图２－５R1Y作用于图2-5每个结点上的外载荷、支座反力以及来自单元的力应处于平衡对结点１：对结点2：对结点3：(2-1-1４)(1)结点平衡条件结构的总体平衡方程

(2)单元刚度矩阵的扩充将每个单元的自由度扩充到与结构总体自由度相同（本例为６），并在单元刚度矩阵中补充零元素由单元①由单元②

由单元③(3)组装总体刚度矩阵

(2-1-19)(2-1-20)桁架结构的总体刚度矩阵桁架结构的总体平衡方程

实际采用的总刚阵组装方法单元号单元自