2024年高考数学一轮复习考点题型课下层级训练46椭圆__椭圆的概念及其性质含解析.docVIP

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课下层级训练(四十六)椭圆的概念及其性质

[A级基础强化训练]

1．(2024·山东滨州模拟)若椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为()

A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),3)

C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(2),4)

【答案】C[依题意可知，c＝b，又a＝eq\r(b2＋c2)＝eq\r(2)c，

∴椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).]

2．(2024·广东惠州调研)“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C[把椭圆方程化成eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1.若m＞n＞0，则eq\f(1,n)＞eq\f(1,m)＞0.所以椭圆的焦点在y轴上．反之，若椭圆的焦点在y轴上，则eq\f(1,n)＞eq\f(1,m)＞0即有m＞n＞0.故为充要条件．]

3．设F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为()

A．4 B．3

C．2 D．5

【答案】A[由题意知|OM|＝eq\f(1,2)|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，

∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.]

4．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为eq\f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4eq\r(3)，则C的方程为()

A．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(x2,3)＋y2＝1

C．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 D．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1

【答案】A[由题意及椭圆的定义知4a＝4eq\r(3)，则a＝eq\r(3)，又eq\f(c,a)＝eq\f(c,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.]

5．(2024·山东烟台模拟)若点O和点F分别为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的随意一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值为()

A．2 B．3

C．6 D．8

【答案】C[由题意知，O(0,0)，F(－1,0)，设P(x，y)，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(FP,\s\up6(→))＝(x＋1，y)，∴eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又∵eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，∴y2＝3－eq\f(3,4)x2，

∴eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)x2＋x＋3＝eq\f(1,4)(x＋2)2＋2.∵－2≤x≤2，

∴当x＝2时，eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))有最大值6.]

6．焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为____________________．

【答案】eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1[由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2c＝8，,\f(c,a)＝0.8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝5，,c＝4，))又b2＝a2－c2，∴b2＝9，

当焦点在x轴上时，椭圆方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，

当焦点在y轴上时，椭圆方程为eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1.]

7．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________________．

【答案】(－5,0)[∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，∴圆心坐标为(3,0)，∴c＝3.又b＝4，∴a＝eq\r(b2＋c2)＝5.∵椭圆