第6节　幂函数与几类特殊函数.pptxVIP

第二章函数INNOVATIVEDESIGN第6节幂函数与几类特殊函数

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ZHISHIZHENDUANZICE知识诊断自测第一章

1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数_______叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.y＝xα

5.高斯函数y＝[x](1)定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数.(2)性质①定义域：R；值域：Z.②不具有单调性、奇偶性、周期性.(3)图象

7.最值函数的概念

常用结论与微点提醒

××√√

2.若幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是()C解析设幂函数的解析式为y＝xα，因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，

(－2，1)故其图象的对称中心为点(－2，1).

0解析作出f(x)的图象如图中所示的实线部分，由图可知f(x)的最小值为0.

KAODIANJUJIAOTUPO考点聚焦突破第二章

考点一幂函数的图象和性质例1(1)幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()A.abcd B.dbcaC.dcba D.bcdaD解析观察函数图象可知在(1，＋∞)上，函数图象与x轴的距离由远及近为y＝xb，y＝xc，y＝xd，y＝xa，∴其函数的指数的大小为bcda.

B

感悟提升1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条直线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.

D

A解析由题意，得m2＋m－5＝1，即m2＋m－6＝0，解得m＝2或m＝－3，当m＝2时，可得函数f(x)＝x3，此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；当m＝－3时，可得f(x)＝x－2，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意，即幂函数f(x)＝x3，则f(3)＝27.

考点二几类特殊函数所以f(x)的对称中心为点(－1，a)，由题意得a＝3.

(2)若函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围.又由一次分式函数的性质知，当且仅当1×(2－a)＞1×a，即a＜1时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，故a的取值范围是(－∞，1).

C解析当m＝0时，f(x)＝|x|(x≠0)，选项A有可能；

根据对勾函数图象易得在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，选项D有可能；易得f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，选项B有可能，所以选项C不可能.故选C.

B即f(x)为偶函数，

则函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由偶函数对称性知，f(x)的增区间为[－1，0)，[1，＋∞)，故B正确；令f(x)＝4时，则x1＝－2，x2＝2，此时g(a)＝4，故C错误；若a＝0时，f(x)＝|x|，令f(x)＝4时，则x＝±4，g(a)＝8，此时与函数g(a)的最大值为4矛盾，故D错误.

AC

解析对于A，x∈[k，k＋1)，k∈Z，有[x]＝k，则函数y＝x－[x]＝x－k在[k，k＋1)上单调递增，故A正确；所以y＝[f(x)]的值域为{0，1}，故C正确；对于D，当x＝2时，[x]＋1＝3，有2[2]＋1，故D不正确.

BD解析对于A，函数y＝f(x)的图象是断续的点集，不是两条直线，A错误；对于B，当x为有理数时，f(x)＝1，所以f(f(x))＝f(1)＝1，当x为无理数时，f(x)＝0，f(f(x))＝f(0)＝1，B正确；

对于D，由题意，函数定义域为R，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，若x是有理数，则x＋T也是有理数；若x是无理数，则x＋T也是无理数；所以根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对?x∈R恒成立，故f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)＝f(1－x)，所以?x∈R，都有f(1－x)＝f(2＋x)，D正确.

(3)(2024·成都诊断)已知f(x)＝2x＋1，g(x)＝2(x＋1)2，?x∈R，用M(x)表