第4节　空间直线、平面的垂直.pptxVIP

第七章立体几何与空间向量

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第4节空间直线、平面的垂直

1.以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理.

2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题.

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知识诊断自测

考点聚焦突破

课时分层精练

壹

贰

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知识诊断自测

第一章

1.直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

如果直线l与平面α内的______一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.

任意

(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理

两条相交直线

平行

2.直线和平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的______所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是_____；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是____.

(2)范围：_________.

射影

90°

0°

3.二面角

(1)定义：从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角.

(2)二面角的平面角

若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是_________.

(3)二面角的平面角α的范围：[0，π].

两个半平面

∠AOB

4.两个平面垂直

(1)两个平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直.

直二面角

(2)两个平面垂直的判定定理与性质定理

垂线

l⊂β

交线

l⊂β

1.与“直线与平面垂直”有关的结论

(1)直线与平面垂直的定义常常逆用，即a⊥α，b⊂α⇒a⊥b.

(2)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.

2.三垂线定理

在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.

3.三垂线定理的逆定理

平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.

常用结论与微点提醒

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

×

×

×

解析(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则有l⊥α或l与α斜交或l⊂α或l∥α，故(1)错误.

(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.

(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()

(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()

(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()

(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()

×

(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.

(4)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BC1⊥AB，所以BC1垂直于平面ABCD内所有与AB平行的直线，而平面ABC1D1过BC1，显然平面ABC1D1与平面ABCD不垂直，故(4)错误.

2.(必修二P159T2改编)已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是()

A.α⊥γ，β⊥γ B.α∩β＝a，b⊥a，b⊂β

C.a∥β，a∥α D.a∥α，a⊥β

D

解析α⊥γ，β⊥γ⇒α与β相交或平行，故A不正确；

因为α∩β＝a，b⊥a，b⊂β，所以β可以绕交线a任意旋转，所以不能得到α⊥β，故B不正确；

a∥β，a∥α⇒α与β相交或平行，故C不正确；

当a⊥β，a∥α，过直线a作平面与平面α交于直线b，所以a∥b，

又a⊥β，所以b⊥β，

又b⊂α，所以α⊥β，故D正确.

3.(必修二P158例8改编)如图，AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有()

A.平面ABC⊥平面BCD B.平面BCD⊥平面ACD

C.平面ABD⊥平面ACD D.平面BCD⊥平面ABD

B

解析因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，

又AD垂直于圆柱的底面，所以AD⊥BC，

因为AC∩AD＝A，AC，AD⊂平面ACD，所以BC⊥平面ACD，

因为BC⊂平面BCD，

所以平面BCD⊥平面ACD，故选B.

4.在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.

(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心.

(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心.

外

垂

解析(1)如图1，连接OA，