第09讲 拓展四：三角形中周长（定值，最值，取值范围）问题( 精讲）（解析版）.docx

第09讲拓展四：三角形中周长（定值，最值，取值范围）问题

目录

TOC\o1-2\h\u第一部分：基础知识 1

第二部分：高频考点一遍过 1

高频考点一：周长（边长）定值（求周长） 1

高频考点二：周长（边长）定值（求边的代数和） 5

高频考点三：周长（边长）最值（周长最值） 8

高频考点四：周长（边长）最值（边的代数和最值） 11

高频考点五：周长（边长）取值范围（周长取值范围） 15

高频考点六：周长（边长）取值范围（边的代数和取值范围） 20

频考点七：周长（边长）取值范围（锐角三角形中周长（边长）取值范围） 27

第一部分：基础知识

1、基本不等式

核心技巧：利用基本不等式，在结合余弦定理求周长取值范围；

2、利用正弦定理化角

核心技巧：利用正弦定理，，代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.

第二部分：高频考点一遍过

高频考点一：周长（边长）定值（求周长）

典型例题

例题1．（2024·全国·模拟预测）在中，角所对的边分别为的外接圆半径为，且．

(1)求的值；

(2)若的面积为，求的周长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据辅助角公式结合已知即可得解；

（2）由（1）求出，再根据正弦定理可得出的关系，再根据三角形的面积公式求出边长，即可得解.

【详解】（1）由，结合正弦定理，

得，化简得，

因为，且不同时为钝角，则，

所以，

又，所以，因此；

（2）由（1）知，

则，

由正弦定理得，

令，则，

则，解得，

因此的周长为．

例题2．（2024·湖南常德·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且．

(1)求角；

(2)若，，成等差数列，且的面积为，求的周长．

【答案】(1)

(2)15

【分析】（1）先利用正弦定理角化边得出；再结合余弦定理得出即可求解.

（2先根据，，成等差数列得出；再利用三角形的面积公式得出；最后结合(1)中的，求出，，即可解答.

【详解】（1）因为，

由正弦定理可得：.

由余弦定理可得：.

又因为，

所以.

（2）由,,成等差数列可得：①.

因为三角形的面积为，，

，即②.

由(1)知：③

由①②③解得：.

，

故三角形的周长为15.

练透核心考点

1．（23-24高一下·天津静海·阶段练习）在中，角、、所对的边分别为、、，已知.

(1)求角的大小；

(2)若，且，求的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理及特殊角的三角函数值求解即可；

（2）根据三角形面积公式和余弦定理求解，即可求解三角形的周长.

【详解】（1）由正弦定理得，

因为，则，所以，所以，

因为，所以；

（2）因为，且，所以，

由余弦定理可得，

所以，解得，

因此周长为.

2．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且．

(1)求；

(2)已知的面积为，设为的中点，且，求的周长．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解；

（2）由中线的向量表示平方后化简，由三角形面积公式可求出，再由余弦定理求出即可.

【详解】（1）由题意知中，，

由正弦定理边角关系得：

，

所以，

因，所以，

所以，所以，

又，

所以，即．

（2）在中，为中线，，

，

，

，

，

，

，的周长为．

高频考点二：周长（边长）定值（求边的代数和）

典型例题

例题1．（2024·四川成都·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积．

(1)求；

(2)若，，求．

【答案】(1)；

(2)20.

【分析】（1）由三角形的面积公式和正弦定理求解即可.

（2）由同角三角函数的基本关系求出，再由正弦定理求出，最后由余弦定理求解即可.

【详解】（1）由题意可知，，

由，得，

由正弦定理可知，，

由，得，即

（或

由正弦定理可知：，

因为，所以.）

（2）由，可知角为锐角，

所以，得，，

因为，

由正弦定理得，所以，

由余弦定理，

得

例题2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，的面积为，且.

(1)求角的大小；

(2)若外接圆的半径为1，边上的高为，求的值.

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）利用三角形面积公式与余弦定理的边角变换即可得解；

（2）利用正弦定理求得，再利用三角形面积公式求得，从而利用整体法，结合余弦定理即可得解.

【详解】（1），

即，即，

所以，又，则.

（2）由外接圆的半径为1，得，，

边上的高为，所以，

则，所以，

，，即，

故.

练透核心考点

1．（2024·四川成都·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积．

(1)求；

(2)若,，求．

【答案】(1