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增分微点9带电粒子在立体空间的运动第十章磁场

一、带电粒子的螺旋线运动和旋进运动空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。现在主要讨论两种情况：(1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做旋进运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。

例1某实验装置的基本原理如图1所示，平行正对放置半径均为R、间距为d的圆形金属板，M、N的圆心分别为O1、O2，位于O1处的粒子源能向两板间各个方向发射质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，不计粒子重力及相互间作用，忽略边缘效应。图1(1)仅在两板间加电压U，两板间产生方向沿O1O2方向的匀强电场。求粒子源发射出的粒子速度大小v0满足什么条件时能全部击中N板？

解析速度方向与电场强度方向垂直的粒子击中N板，则全部粒子击中N板。当速度方向与电场强度方向垂直的粒子击中N板边缘时，有

(2)仅在两板间加方向沿O1O2方向的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，求粒子源发射出的方向与O1O2连线成θ(0θ90°)角的粒子速度大小v满足什么条件时能全部击中N板？解析粒子源发射出的方向与O1O2连线成θ(0θ90°)角的粒子，做螺旋线运动，垂直磁感应强度方向的分速度大小为vy＝vsinθ

(1)α粒子在Ⅰ区域内沿y轴方向的侧移量y1；图2

(2)Ⅱ区域内圆形磁场区域的最小面积Smin；

当α粒子轨迹对应弦长等于圆形磁场直径时，圆形磁场的面积最小，则有

(3)Ⅲ区域沿x轴方向的可能宽度d。解析α粒子进入Ⅲ区域时速度方向与y轴负方向成45°角，将α粒子进入Ⅲ区域时的速度分解到＋x轴方向和－y方向，则有由于磁场方向沿x轴正方向，则α粒子沿x轴正方向以v0做匀速直线运动，同时α粒子在yOz平面内做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得

根据题意有α粒子离开Ⅲ区域时速度方向平行于xOz平面，且与z轴负方向成45°角，由于vx＝v0＝vy′则α粒子在yOz平面内做匀速圆周运动离开时速度方向刚好沿z轴负方向，α粒子在Ⅲ区域中的运动时间为

图3

(1)在yOz平面左侧匀强磁场的磁感应强度B；(2)在yOz平面右侧匀强电场的电场强度E；(3)粒子第2次经过yOz平面时的位置坐标。

沿y轴负方向做匀加速运动，因在xOz平面上方和下方用时相等，可知位置坐标y＝－3d沿z轴坐标z＝2r2＝2r1＝4d即粒子第2次经过yOz平面时的位置坐标为(0，－3d，4d)。

01教师备选用题

D1.(2022·重庆卷，5)2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场(如图1)，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为v2，不计离子重力，则()图1

解析根据功率的计算公式可知P＝Fvcosθ，则静电力的瞬时功率为P＝qEv1，A错误；由于v1与磁感应强度B平行，则根据洛伦兹力的计算公式知F洛＝qv2B，B错误；根据运动的合成与分解可知，离子在垂直于磁场方向做匀速圆周运动，沿磁场方向做加速运动，则v1增大，v2不变，v2与v1的比值不断变小，C错误；离子受到的安培力不变，静电力不变，则该离子的加速度大小不变，D正确。

2.(2024·山东潍坊高三联考)某离子束实验装置的基本原理如图2甲所示，在半径为R的圆柱形底面建立空间直角坐标系，坐标原点与圆柱底面圆心重合。圆柱形区域内存在沿z轴负方向、电场强度为E的匀强电场，圆柱形区域正上方存在沿x轴负方向、磁感应强度为B0的匀强磁场。如图乙所示，从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m的正离子，经电场加速后从圆柱形边界正上方沿y轴负方向进入磁场，恰好在圆柱顶面圆心处与y轴正方向成θ角斜向下射出磁场，进入圆柱形区域内的电场中，最后落在圆柱底面上坐标为(0，R，0)的D点(图中未画出)，不计离子重力。图2

(2)离子在圆柱形区域内的电场中沿y轴正方向做匀速直线运动，沿z轴负方向做匀加速直线运动，则沿y轴正方向有R＝vyt＝vtcosθ

设该离子打在圆柱形底面的位置坐标为(x，y，0)，根据几何关系可知

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