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求实系数一元三次方程根的实用公

式(总8页)

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求实系数一元三次方程根的实用公式

在数学书籍或数学手册中，对一元三次方程求根公式的叙述都是沿

用“卡丹公式”，即：对于一元三次方程：

设，

则它的三个根的表达式如下：

其中，

我们先用该公式解一个一元三次方程：。

解：p=9，q=6，T=3，D=18，

原方程的三个根为

2

这样求出的三个根的表达式有两个不妥之处：

其一、当时，方程有三个实根（下文给出证明），但这里的

、、表达式不明确。

其二、当时，以及（如此例中的）违背了

现行中等数学的表示规范，也不能具体地求出其值。

因此，用“卡丹公式”解出的一元三次方程的根，往往是不实用、不直

观、不严密的。

下面我们推导一个实用的改进型求根公式。

实系数一元三次方程可写为（1）

令，代入（1）得（2）

其中，

不失一般性，我们只要讨论实系数一元三次方程的求根公

式即可。

不妨设p、q均不为零，令y=u+v（3）

代入（2）得，（4）

选择u、v，使得，即（5）

代入（4）得，（6）

3

将（5）式两边立方得，（7）

联立（6）、（7）两式，得关于的方程组：

，且

问题归结于上述方程组的求解。

即求关于t的一元二次方程的两根、，

设，，，

又记的一个立方根为，则另两个立方根为，，

其中，为1的两个立方虚根。

以下分三种情形讨论：

1）若，即D0，则、均为实数，

可求得，，

取，，

在，组成的九个数中，

有且只有下面三组满足，

4

即、；、；、，

也就是满足，

方程（2）的根为，，，

这是方程（2）有一个实根，两个共轭虚根，，

其表达式就是前面给出的“卡丹公式”的形式，

这里的根式及都是在实数意义下的。

2）若，即时，

可求得，取

同理，可求得

方程（2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。

3）若，即D0时，

，p0，，

则、均为虚数，求出、并用三角式表示，

就有