1.3 乘法公式（第4课时）教学设计 北师大版（2025）数学七年级下册.docxVIP

2025年

数学北师大版（2024）七年级下册

第一章整式的乘除

1.3乘法公式

第4课时完全平方公式的运用

一、教学目标

1.进一步巩固(a±b)2=a2±2ab+b2，能运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算.

2.能综合运用完全平方式与平方差公式进行有关的计算.

3.进一步熟练乘法公式，提高最基本的运算技能，并且明白每一步的算理.

4.提高合作交流意识和创新精神，提高学习数学的兴趣.

二、教学重难点

重点：能运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算.

难点：能综合运用完全平方式与平方差公式进行有关的计算.

三、教学过程设计

环节一创设情境

【复习回顾】

问题1：平方差公式是怎样的呢？

预设：(a+b)(a?b)=a2?b2

两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.

问题2：完全平方公式又是怎样的呢？

预设：

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a?b)2=a2?2ab+b2

两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.

设计意图：通过复习回顾熟悉已学知识，为新知识的学习作准备.

环节二探究新知

【思考】怎样计算1022和1972更简便呢？

分析：102=100+2可以改写成(100+2)2，197=200-3可以改写成(200-3)2，再利用完全平方式进行求解.

预设：

(1)1022=(100+2)2=10000+400+4=10404.

(2)1972=(200–3)2=40000–1200+9=38809.

归纳：完全平方公式用于简便运算时，关键是找到与原数接近的类似整十、整百的数，再将原数变形成(a+b)2或者(a-b)2的形式，使之符合公式的特点，再用完全平方公式进行求解．

设计意图：让学生学会利用完全平方公式进行数的平方简便运算，并与学生一起归纳总结计算的基本思路.

【想一想】下列式子你是怎样计算的呢？

(1)(m+n+1)(m+n-1)

(2)(-m+n-1)(m+n-1)

教师引导学生将m+n和n-1看作是一个整体即看作是一项，然后再利用平方差公式和完全平方公式进行计算.

预设：

(1)(m+n+1)(m+n-1)

=[(m+n)+1][(m+n)-1]

=(m+n)2-12

=m2+2mn+n2-1

(2)(-m+n-1)(m+n-1)

=[(n-1)+m][(n-1)+m]

=(n-1)2-m2

=n2-2n-m2+1

归纳：可通过添括号变形成平方差公式的形式，将其中某一部分看作一项，再利用平方差公式和完全平方公式求解.

设计意图：使学生进一步熟悉乘法公式的运用，初步体会完全平方公式中字母a，b的含义是很广泛的，它可以是数，也可以是整式，并归纳总结计算的基本思路.

环节三应用新知

【典型例题】

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

【例1】计算：

(1)(x+3)2-x2；

(2)(a+b+3)(a+b-3)；

(3)(x+5)2-(x-2)(x-3)；

(4)[(a+b)(a-b)]2

分析：(1)直接利用完全平方公式求解即可.

(2)直接利用完全平方公式和多项式乘法展开，再去括号合并同类项即可.

(3)把a+b看作整体(一项)，再利用平方差公式求解即可.

(4)先利用平方差公式，再利用完全平方公式求解即可

解：(1)原式=(x+3)2-x2

=x2+6x+9－x2

=6x+9

(2)原式=x2+10x+25-(x2-5x+6)

=x2+10x+25-x2+5x-6

=15x+19

(3)原式=[(a+b)+3][(a+b)-3]

=(a+b)2-32

=a2+2ab+b2－9.

(4)原式=(a2-b2)2=a4－2a2b2+b4

【例2】已知a2＋b2＝13，ab＝6，求(a＋b)2，(a-b)2的值.

分析：将两数的和(差)的平方式展开，产生两数的平方和与这两数积的两倍，再将条件代入求解．

解：因为a2＋b2＝13，ab＝6，

所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝13＋2×6＝25；

(a-b)2＝a2＋b2-2ab＝13-2×6＝1.

【归纳】常见的完全平方公式的变形

设计意图：使学生进一步熟悉乘法公式的运用，同时进一步体会完全平方公式中字母a，b的含义是很广泛的，它可以是数，也可以是整式.

【观察思考】

观察下图，你认为(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m点阵n×n点阵中的点数之和一样多吗?请用所学的公式解释自己的结论.

预设答案：观察图形知，(m+n)×(m+n)点阵中的点数有(m+n)(m+n)=m2+2mn+n2，

m×m点