高二-理科-数学归纳法与放缩法-2.docVIP

数学归纳法与放缩法

一、数学归纳法

知识要点：

(1)数学归纳法的根本形式

设P(n)是关于自然数n的命题，假设

1°P(n0)成立(奠基)

2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，那么P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.

(2)数学归纳法的应用

具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.

二、放缩法

知识要点：

放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小

常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：，，

②将分子或分母放大〔或缩小〕如：

③应用“糖水不等式”：“假设，，那么”

④利用常用结论：如：，

其他放缩技巧⑴添加或舍去一些项，如：；

⑵将分子或分母放大〔或缩小〕

⑶利用根本不等式，如：；

⑷二项式放缩:,,

(5)利用常用结论：

Ⅰ.的放缩：

Ⅱ.的放缩(1)：〔程度大〕

Ⅲ.的放缩(2)：〔程度小〕

Ⅳ.的放缩(3)：〔程度更小〕

Ⅴ.分式放缩还可利用真〔假〕分数的性质:和

典例精析：

例2、假设是自然数，求证

变式练习：

2、假设a,b,c,d?R+，求证：

例3、求证：，其中，且．〔数学归纳法中的放缩法〕

变式练习：

3、用数学归纳法证明：．

稳固练习：

1、用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证()

A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4

2、用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”第二步归纳假设应写成[???]

A．假设n=2k+1(k∈N)正确，再推n=2k+3正确

B．假设n=2k-1(k∈N)正确，再推n=2k＋1正确

C．假设n=k(k∈N)正确，再推n=k＋1正确

D．假设n=k(k≥1)正确，再推n=k＋2正确

3、，那么〔〕

A．

B．

C．

D．

4、用数学归纳法证明不等式时，不等式在时的形式是〔〕

A．

B．

C．

D．

5、用数学归纳法证明能被8整除时，当时，对于可变形为〔〕

Ａ． Ｂ．

Ｃ． Ｄ．

6、用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是〔〕

Ａ．1 Ｂ． Ｃ． Ｄ．

7、用数学归纳法证明：当n∈N时，1＋2＋22＋23＋…＋25n-1是31的倍数时，当n=1时原式为______，从k到k＋1时需增添的项是________．

8、求证：

9、设求证

10.求证:

解析:提示:

11、(09广东〕曲线．从点向曲线引斜率

的切线，切点为．

〔1〕求数列的通项公式；〔2〕证明：.

解：〔1〕设直线：，联立得，那么，∴〔舍去〕

，即，∴

〔2〕证明：∵

∴

由于，可令函数，那么，令，得，给定区间，那么有，那么函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又，

那么有，即.