《幂级数和函数的应用研究》8600字.doc

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幂级数和函数的应用研究

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TOC\o1-3\h\u12481摘要 I

249331前言 1

101121.1研究背景 1

92941.2研究意义 2

285341.3研究现状 2

318612相关理论 3

124202.1幂级数 4

204512.2幂级数和函数 4

64143幂级数和函数的应用研究 5

312093.1函数展开成幂级数 5

193813.1.1泰勒级数 5

155953.1.2麦克劳林级数 7

108633.1.3幂级数和函数的应用的步骤 8

326713.2幂级数和函数的方法探究 8

172263.2.1定义法 8

64713.2.2逐项求导法 9

133783.2.3逐项积分法 10

196263.2.4其他方法 11

181343.3函数和幂级数的几点应用介绍 12

204373.3.1皮亚诺型余项应用于函数幂级数的求解 12

187543.3.2Qp函数空间中的随机函数 13

283983.3.3无理性幂级数理论在函数上的应用 15

67894结论与展望 17

30442参考文献 18

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摘要：幂级数和函数问题是数学分析课程中的重要内容，利用函数这一数学工具可以有效解决数学中的很多问题。介绍了幂级数和函数以及求和函数的方法，对幂级数和函数的应用展开了讨论。应用幂级数的和函数解决问题，必须细心分析，选择合适的幂级数是解决这类问题的核心。和函数可以通过逐项积分、逐项微分等方法求解，计算过程中要灵活变形，具体问题具体分析.掌握幂级数的和函数的应用方法，对提高问题的解决与处理能力有重要的帮助。

关键词：幂级数；函数；应用

1前言

1.1研究背景

作为数学的一门分支学科,幂级数论发端于十八世纪。为幂级数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔,他们都是这门学科的先驱。1774年,欧拉在他的一篇论文中考虑了由幂级数的积分的性质。而比他更早时,法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中,就己经得到了它们。因此,后来人们提到这两个方程,把它们叫做“达朗贝尔一欧拉方程”。到了十九世纪,在柯西和黎曼研究流体力学时,对上述两个方程作了更详细的研究,所以这两个方程也被叫做“柯西一黎曼条件”。从此,幂级数的研究对象就建立于在复数域内满足这个条件的一类解析函数上。

幂级数论的全面发展是在十九世纪,就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样,幂级数这个新的分支统治了十九世纪的数学。柯西、魏尔斯特拉斯、黎曼将他们的技术集中应用于复变量函数论的基础中,他们均给出了这门学科的正式特征。当时的数学家公认幂级数论是最丰饶的数学分支,并且称其为这个世纪的数学享受,克莱因称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。

二十世纪初,幂级数理论经过长足的发展,以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它极大地推动了一些学科的发展,如微分方程、积分方程、概率论和数论等学科,许多现代理论都是根植于那个时期的数学研究并且幂级数理论常常作为一个有力的工具解决实际问题中复杂的计算,如物理学上稳定场的计算以及在流体力学和航空力学等领域的广泛应用,它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。瑞典数学家米塔一列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等作了大量的研究工作,开拓了幂级数论更广阔的研究领域,为这门学科的壮大与拓广做出了非同寻常的贡献。因此,以幂级数理论为研究对象,对其展开思想方法演变的历史研究,不仅具有学科史的理论价值,而且也具有一定的现实意义。

幂级数在研究函数方面是一个很有力的工具。它是一类形式简单而应用广泛的函数级数，基础初等函数在一定范围内都可展开成幂级。当前对幂级数和函数研究在不断发展，幂级数的性质日益完善。

幂级数是数学分析中的一个非常重要的内容，同时在复变函数论中，函数幂级数展开无论在理论上还是在应用上都占有非常重要的地位是复变函数中的重要工具。运用幂级数和函数的性质进行分析，可以解决很多数学难题。

用幂级数表示的力学方程可以解决很多工程力学问题，在应用内容上非常丰富。目前幂级数对其他领域，如非线性椭圆型方程、循环码等，的研究含不够完善，所以要通过这个研究对幂级数和函数应用建立完整体系。

1.2研究意义

当前，对幂级数和函数的研究已经较为全面，但在其应用方面的总结和研究还有一定的缺陷和不足，但这个内容对幂级数和函数能否在实际工作和生活中得到发展至关重要，所以要通过这个研究对幂级数和函数应用建立完整体系，为一线工作人员提供理论的参考