第2.6讲 指数与指数函数（解析版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）.docx

第二章函数

第2.6讲指数与指数函数

1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.

2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.

3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．

题型一指数幂的运算

题型二指数函数的图象及应用

题型三指数函数的性质及应用

题型四指数函数的综合应用

1．根式

(1)一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，那么x称为a的n次方根．

(2)当eq\r(n,a)有意义的时候，eq\r(n,a)称为根式，其中n称为根指数，a称为被开方数．

(3)(eq\r(n,a))n＝a.

当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a，

当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a0.))

2．分数指数幂

正数的正分数指数幂：＝eq\r(n,am)(a0，m，n∈N＋，且eq\f(m,n)为既约分数)．

正数的负分数指数幂：＝＝eq\f(1,\r(n,am))(a0，m，n∈N＋，n1)．

0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

3．指数幂的运算性质

aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a0，b0，r，s∈Q)．

4．指数函数及其性质

(1)概念：一般地，函数y＝ax(a0，且a≠1)称为指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.

(2)指数函数的图象与性质

a1

0a1

图象

定义域

R

值域

(0，＋∞)

性质

过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1

当x0时，y1；

当x0时，0y1

当x0时，y1；

当x0时，0y1

在(－∞，＋∞)上是增函数

在(－∞，＋∞)上是减函数

题型一指数幂的运算

1．化简的结果为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

故选：C.

2．计算，结果是（????）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【详解】.

故选：B

3．下列运算结果中正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】对于A选项，，故A错误；

对于B选项，，故B错误；

对于C选项，当时，，当时，，故C错误；

对于D选项，，故D正确．

故选：D．

4．的值是（????）

A．105 B．33 C． D．

【答案】B

【详解】由题意得：

.

故选：B.

5．蒸发和沸腾都是汽化现象，是汽化的两种不同方式．蒸发是在液体表面发生的汽化过程，沸腾是在液体内部和表面上同时发生的剧烈的汽化现象．溶液的蒸发通常是指通过加热使溶液中一部分溶剂汽化，以提高溶液中非挥发性组分的浓度或使溶质从溶液中析出结晶的过程．通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y（单位：L/h）与液体所处环境的温度x（单位：℃）近似地满足函数关系（为自然对数的底数，a，b为常数）．若该液体在10℃时蒸发速度是0.2L/h，在20℃时蒸发速度是0.4L/h，则该液体在40℃时蒸发速度为（????）

翻译这两句信息，可得方程组这就是将文字信息翻译或数学语言的体现

A．0.5L/h B．0.6L/h C．0.8L/h D．1.6L/h

【答案】D

【详解】由题意可知，两式相除得，所以，

当时，，

所以该液体在40℃时蒸发速度为1.6L/h．

故选：D．

题型二指数函数的图象及应用

6．函数恒过定点（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题设，当，即时，，

所以函数过定点.

故选：B

7．要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（????）

A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】D

【详解】由向右平移个单位，则.

故选：D

8．函数一定不过（????）

A．第一象限 B．第二象限 C．第四象限 D．第三象限

【答案】C

【详解】根据函数解析式可知过定点，函数过第三象限；，函数过第二象限；为单增函数且定义域为，可以过第一象限.

故选：C

9．已知函数是指数函数，函数，则与在同一坐标系中的图像可能为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】当时，为增函数，的图像的对称轴为直线，A选项错误，C选项正确；

当时，为减函数，的图像的对称轴为直线，B选项错误，D选项错误．

故选：C

10．已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】画出函数的图像

要方程关于的方程有4个不同的实数根，

令，

则在内有两不等实根，

，解得

故选：D.

题型三指数函数的性质及应用

11．设函数，函数的图像经过第一?三?四象限，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案