第03讲 导数与函数的极值、最值（知识+真题+6类高频考点) ( 精讲）（解析版）.docx

第03讲导数与函数的极值、最值

目录

TOC\o1-2\h\u第一部分：基础知识 1

第二部分：高考真题回顾 2

第三部分：高频考点一遍过 5

高频考点一：函数图象与极值（点）的关系 5

高频考点二：求已知函数的极值（点） 9

高频考点三：根据函数的极值（点）求参数 12

高频考点四：求函数的最值（不含参） 17

高频考点五：求函数的最值（含参） 21

高频考点六：根据函数的最值求参数 27

第四部分：典型易错题型 32

备注：已知函数极值（点）求参数，忽视了回代检验答案 32

第一部分：基础知识

1、函数的极值

一般地，对于函数，

（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.

（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．

（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.

注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.

2、函数的最大（小）值

一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.

设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：

（1）求在内的极值；

（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

3、函数的最值与极值的关系

（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；

（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；

（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；

（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.

第二部分：高考真题回顾

1．（多选）（2023·全国·新课标Ⅰ卷）已知函数的定义域为，，则（????）．

A． B．

C．是偶函数 D．为的极小值点

【答案】ABC

【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.

方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.

【详解】方法一：

因为，

对于A，令，，故正确.

对于B，令，，则，故B正确.

对于C，令，，则，

令，

又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，

对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.

方法二：

因为，

对于A，令，，故正确.

对于B，令，，则，故B正确.

对于C，令，，则，

令，

又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，

对于D，当时，对两边同时除以，得到，

故可以设，则，

当肘，，则，

令，得；令，得；

故在上单调递减，在上单调递增，

因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

??

显然，此时是的极大值，故D错误.

故选：.

2．（2023·全国·新课标Ⅱ卷）（1）证明：当时，；

（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．

【答案】（1）证明见详解（2）

【分析】（1）分别构建，，求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得结果；

（2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究在上的单调性，求导，分类讨论和，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解.

【详解】（1）构建，则对恒成立，

则在上单调递增，可得，

所以；

构建，

则，

构建，则对恒成立，

则在上单调递增，可得，

即对恒成立，

则在上单调递增，可得，

所以；

综上所述：.

（2）令，解得，即函数的定义域为，

若，则，

因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

则在上单调递减，在上单调递增，

故是的极小值点，不合题意，所以.

当时，令

因为，

且，

所以函数在定义域内为偶函数，

由题意可得：，

（i）当时，取，，则，

由（1）可得，

且，

所以，

即当时，，则在上单调递增，

结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，

所以是的极小值点，不合题意；

（ⅱ）当时，取，则，

由（1）可得，

构建，

则，

且，则对恒成立，

可知在上单调递增，且，

所以在内存在唯一的零点，

当时，则，且，

则，

即当时，，则在上单调递减，

结合偶函数的对称性可知：在上单调递增，

所以是的极大值点，符合题意；

综上所述：，即，解得或，

故a的取值范围为.

【点睛】关键点睛：

1.当时，利用，换元放缩；

2.当时，利用，换元放缩.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：函数图象与极值（点）的关系

典型例题

例题1．（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则（????）

A．在区间上单调递增

B．在区间上有且仅有2个极值点

C．在区间上最多有4个零点

D．在区间上存在极大值点

【答案】CD

【分析】结合导数图