专题8.3 圆的方程（解析版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）.docx

第八章平面解析几何

专题8.3圆的方程

1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.

2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．

考点一圆的方程

考点二与圆有关的轨迹问题

考点三与圆有关的最值问题

1．圆的定义和圆的方程

定义

平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆

方程

标准

(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)

圆心C(a，b)

半径为r

一般

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

(D2＋E2－4F0)

圆心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))

半径r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)

2.点与圆的位置关系

平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：

(1)|MC|r?M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2r2?M在圆外；

(2)|MC|＝r?M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圆上；

(3)|MC|r?M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2r2?M在圆内．

常用结论

1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.

2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．

3．圆心在任一弦的垂直平分线上．

题型一圆的方程

1．圆心为，且经过坐标原点的圆的标准方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】依题意，圆心为，且经过坐标原点的圆的半径，

所以所求圆的标准方程为.

故选：D

2．若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】圆经过点，，

可得线段的中点为，又，

所以线段的中垂线的方程为，

即，

由，解得，

即，圆的半径，

所以圆的方程为.

故选：A.

3．已知圆经过点，，，则该圆的半径为（????）

A．4 B．5 C．8 D．10

【答案】B

【详解】因为，

所以该圆的直径为，所以半径为5．

故选：B.

4．若圆C：的半径为1，则实数（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由，得，

所以圆C的圆心为，半径为，

因为圆C：的半径为1，

所以，解得，

故实数.

故选：D.

5．关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是（????）.

A．，且

B．，且

C．，且，

D．，且，

【答案】D

【详解】关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是

，即，且，.

故选：D

题型二与圆有关的轨迹问题

6．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】∵，即

设，则，整理得

故选：B．

7．如图，定点A，B都在平面内，定点，C是内异于A和B的动点，且，则动点C在平面内的轨迹是（????）

A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点

C．一段弧，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点

【答案】B

【详解】连接，因为，所以，又，，

所以平面，又平面，故，

因为A，B是平面上的定点，所以点C在内的轨迹是以为直径的圆，

又C是内异于A和B的点，故此轨迹要去掉A、B两个点，所以B正确.

故选：B

8．给定圆O及圆内一点P，设A，B是圆O上的两个动点，满足，则的中点的轨迹为（????）

A．一个圆 B．一个椭圆 C．一段双曲线 D．一段抛物线

【答案】A

【详解】如图，设点P关于线段的中点M的对称点为Q，连结．

根据题意，四边形为矩形，

由矩形的性质可得，

故

进而点M的轨迹为圆，

故选：A

9．如图所示，垂直于平面的线段AB和CD，其长分别为和，则平面内满足的点P的轨迹是（????）

??

A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆

【答案】D

【详解】由题意知，，

所以，

在平面内，

以所在直线为轴，中垂线为轴，如图，

??

设，

可推出点轨迹是.

故选：D

10．已知A，B是：上的两个动点，P是线段的中点，若，则点P的轨迹方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】因为中点为P，所以，又，所以，

所以点P在以C为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为.

故选：C.

题型三与圆有关的最值问题

11．已知点在圆上，则到直线距离的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】的圆心，，圆心到直线的距离等于，

故圆上的动点到直线的距离的最小值为．

故选：C

12．已知直线和圆，则圆上的点到直线的距离的最大值为（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C