专题03 解直角三角形及其应用（7大题型）（原卷版）.pdfVIP

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专题解直角三角形及其应用（大题型）

【题型目录】

题型一解直角三角形的相关计算

题型二解非直角三角形

题型三构造直角三角形求不规则图形的边长或面积

题型四仰角俯角问题

题型五方位角问题

题型六坡度坡比问题

题型七解直角三角形的其他应用

【知识梳理】

知识点1：解直角三角形

（1）解直角三角形的定义

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．

（2）解直角三角形要用到的关系

①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；

222

②三边之间的关系：a+b＝c；

③边角之间的关系：

∠的对边∠的邻边∠的对边

sinA==，cosA==，tanA==．

斜边斜边∠的邻边

（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）

知识点2：解直角三角形的应用——仰角、俯角问题

（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．

（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角

形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把

实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．

在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角；

知识点3：解直角三角形的应用——方位角问题

（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．

（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在

直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．

知识点4：解直角三角形的应用—:坡度、坡角问题

（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，

一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．

（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．

（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的

正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．

应用领域：测量领域；航空领域航海领域：工程领域等．

①②③④

知识点5:解直角三角形的综合应用

（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．

如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边

的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．

（2）解直角三角形的一般过程是：

①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．

②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得

到实际问题的答案．

【经典例题一解直角三角形的相关计算】

ABCAC

．（下深圳模拟预测）如图，在边长为的等边中，点在边上自向运动，点在

122·23··6EACF

CBBE,AFCP

边上自向运动，且运动速度相同，连接交于点，连接，在运动过程中，点的运动路

CBPP

径长为（）

43π4ππ

A．