数学建模习题第五章.pdf

习题

1、对于节传染病的SIR模型证明；

s1/i(t)s1/s(t)

①若，则先增加，在处达到最大，然后减少并趋于零；单

0

调减少至。s



s1/i(t)s(t)s

②若，则单调减少并趋于零，单调减少至。

0

2、对于传染病的SIR模型证明(20)~(22)式。

Q(t)

3、在节经济增长模型中，为了适用于不同的对象可将产量函数折算成现金，仍用

Q(t)p(t)p(0)1

表示。考虑到物价上升因素我们记物价上升指数为(设)。则产品的表面



价值y(t)、实际价值Q(t)和物价指数p(t)之间满足y(t)Q(t)P(t)。

y(t)Q(t)p(t)

①导出、、的相对增长率之间的关系，并作解释。

②设雇佣工人数目为L(t)，每个工人工资为W(t)，企业的利润简化为从产品的收入

y(t)中扣除工人的工资和固定的成本。利用节的（5）式讨论，企业应雇佣多少工人能使利

润最大。

4、在节的房室模型中证明方程（3）对应的齐次方程通解如（4）、（5）式所示，说明方



程的两个特征根和一定是负实根。

5、模仿节建立的二室模型建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴



注（持续时间为）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出浓度曲线图。

TD

6、利用上题建立的一室模型，讨论按固定时间间隔每次给予固定剂量的多次重复

CC,C

给药方式。为了维持药品的疗效和保证机体的安全，要求血药浓度控制在（）范

12

V

围内。设中心室容积为已知。

①在快速静脉注射的多次重复给药方式下，写出血药浓度表达式并作图，讨论怎样确

TD

定和使血药浓度的变化满足上述要求。

②在恒速静脉滴注和口服（或肌肉注射）的多次重复给药方式下，给出血药浓度变化

TD

的简图，并在这两种方式选择一种来讨论确定和的问题。

7、在节香烟过滤嘴模型中，

①设M800毫克，l80毫米，l20毫米，b0.02（1/秒），0.08（1/

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v50a0.3QQ/Q

秒），毫米/秒，，求和。

12

②若有一支不带过滤嘴的香烟，参数同上。比较全部吸完和只吸到处的情况下，进入l