模型 14 “垂线段最短”模型 （含答案）2025年中考数学几何模型专题复习.docx

模型14“垂线段最短”模型

模型展现

类型

垂线段最短

两条线段和的最小值问题

图示

条件

直线l外一定点A和直线l上一动点B,连接AB

点P是∠AOB内部或边上一定点,点M,N分别是OA,OB上的动点,连接PN,MN

结论

当AB⊥l时,AB的值最小

作点P关于OB的对称点P,当PM⊥AO时,PN+MN的值最小

结论分析

结论：作点P关于OB的对称点P,当PM?AO时,PN+MN的值最小证明：如图，若M,N

则P

∴PN+MN=PN+MNPM≥PM,

∴当PM?OA时,PN+MN

模型解题三步法

例1如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,点E是AB上任意一点,若AD=5,AC=4,则DE的最小值为()

A.3B.4C.5D.6

例2如图,四边形ABCD是菱形,∠A=60°,延长AD到点E,使DE=AD,连接BD,BE,CE.点P是BC的中点,M,N分别在线段CE,BE上.若AB=6,则PN+NM的最小值为.

题以类解

1.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点P为BC边上一动点(不与点B，C重合),PE⊥OB于点E,PF⊥OC于点F.若AB=20,则EF的最小值为()

A.10B.102C.20

2.如图,在△ABC中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,E,F分别是边AD,AB上的动点,则BE+EF的最小值是.

3.如图，在等腰三角形ABC中，点D为AC的中点,M,N分别是AB,BC上的动点,若CD=2,∠A=120°,则DN+MN的最小值为.

4.如图，抛物线y=-12x2+32x+2与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C，P是直线BC上一动点，Q是x轴上一动点

5.问题提出

(1)如图①，△ABC是边长为2的等边三角形,点E为BC边上一动点,连接AE,求AE的最小值；

问题解决

(2)如图②，某小区现有一片菱形空地AB-CD,其中AB=60m,∠B=60°,为了美化环境，该小区计划在这块空地里种植两种花卉，并修建三条小道AE，AF，EF供居民观赏,根据设计要求:点E,F分别在BC,CD边上,且∠EAF=60°.现计划在△AEF内种植玫瑰，其余空地种植郁金香，试求按设计要求，玫瑰的种植面积最小为多少?

模型解题三步法

例1A【解析】在Rt△ACD中,∵AD=5,AC=4,∴CD=3,根据“垂线段最短”模型得:当DE⊥AB时,DE的值最小.∵AD是∠BAC的平分线,∠C=90°,∴CD=DE.∴DE的最小值为3.

例2PMN

33【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,AD=BC,∵DE=AD,∴DE=BC,∵点E在AD的延长线上，∴DE∥BC,∴四边形DBCE是平行四边形,∵∠A=60°,∴△ADB和△BCD是等边三角形,∴BD=BC,∴四边形DBCE是菱形,∴BE⊥CD.如解图,作点P关于BE的对称点P,过P作CE的垂线交BE于点N,交CE于点M(点M与点C重合),根据“垂线段最短”模型可得:当PM⊥CE时,PN+NM取得最小值,为PC的长,在Rt△PCB中,∠PBC=60°,BC=AB=6,∴PC=BC·

sin∠DBC=6×

题以类解

1.A【解析】找模型：是否存在一个定点：点O；是否存在一条定直线和该直线上一动点：线段：BC，动点：点P；是否求最值：连接OP，OP的最小值即EF的最小值.抽离模型：如解图.用模型:连接OP,∵四边形ABCD是正方形,∴BD⊥AC,又∵PE⊥OB,PF⊥OC,∴四边形OEPF为矩形,∴EF=OP,根据“垂线段最短”模型可得：当OP⊥BC时，OP取得最小值，即EF取得最小值.在正方形ABCD中,OB=OC且∠BOC=90°,∴∠OBC=45°,∴OB=22AB=102,

2.22【解析】找模型：是否存在一个定角：定角：∠DAB.角的边上是否存在一个定点：点B.角的两边上是否存在两个动点：点E，点F.是否求最值：BE+EF的最小值.抽离模型：如解图.用模型：