专题训练(十) 与正方形有关的常考模型.docx

专题训练(十)与正方形有关的常考模型

类型一正方形中相交垂线段问题(“十字架”模型)

【教材母题】

例1(教材复习题18T8)如图10-ZT-1,AB-CD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE=CF.要修建两条路BE和AF,这两条路等长吗?它们有什么位置关系?为什么?

【方法归纳】

正方形内，分别连接两组对边上任意两点，得到的两条线段(如：图10-ZT-2①中的线段AF与BE，图②中的线段AF与EG，图③中的线段HF与EG)满足：若垂直，则相等；若相等，则垂直；若AE=DF，则垂直且相等.

【应用迁移】

如图10-ZT-3,ABCD是一个正方形草地,现要在内部修建两条路MN,EF,且MN⊥EF,这两条路还相等吗?为什么?

类型二正方形中过对角线交点的直角问题

例2如图10-ZT-4,正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,O又是正方形A?B?C?O的一个顶点,OA?交AB于点E,OC?交BC于点F.

(1)求证:△AOE≌△BOF;

(2)如果两个正方形的边长都为a，那么正方形A?B?C?O绕点O转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少?为什么?

【方法归纳】

如图10-ZT-5,正方形AB-CD中，O为两条对角线的交点，点E,F分别在AB,BC上.若∠EOF为直角,OE,OF分别与DA,AB的延长线交于点G,H,则△AOE≌△BOF,△AOG≌△BOH,△OGH是等腰直角三角形,且S四边形

【应用迁移】

1.三个边长均为1的正方形按如图10-ZT-6所示的方式重叠在一起，A?，A?是其中两个正方形对角线的交点，则阴影部分的面积是.

2.如图10-ZT-7,在正方形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,过点O作OE⊥OF,分别交AB,BC于点E,F,连接EF.已知AE=4,CF=3.

(1)求证：△OEF是等腰直角三角形；

(2)求EF的长;

(3)求四边形OEBF的面积.

3.如图10-ZT-8,已知四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于点O.E,F分别是AD,AB上的点,且∠EOF=90°,线段AF,BF和EF之间有怎样的数量关系

类型三半角模型

例3如图10-ZT-9①,四边形ABCD是正方形,点E,F分别在边BC,CD上,且∠EAF=45°，我们把这种模型称为“半角模型”.在解决“半角模型”问题时，“截长补短”是常用的方法之一.在图②中,连接EF,为了证明结论“EF=BE+DF”,小亮延长CB到点G,使BG=DF,进而解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程.

【方法归纳】

如图10-ZT-10.

条件：

①正方形ABCD;

②∠EAF=45°.

结论：

①EF=BE+DF(△CEF的周长=正方形ABCD周长的一半);

②EA平分∠BEF;

③FA平分∠DFE.

【应用迁移】

如图10-ZT-11,正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在BC,CD上,若AE=35,∠EAF=45°,求AF

类型四外角平分模型

例4如图10-ZT-12①,四边形ABCD是正方形,E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题.

(1)探究1：小强看到图①后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等,但△ABE和△ECF显然不全等,考虑到E是边BC的中点，因此可以选取边AB的中点M，连接EM(图②)后尝试着完成了证明，请你写出小强的证明过程.

(2)探究2：小强继续探究，如图③，若把条件“E是边BC的中点”改为“E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论.

(3)探究3：小强进一步还想试试，如图④，若把条件“E是边BC的中点”改为“E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢?若成立，请帮小强写出证明过程；若不成立，请说明理由.

例1解:BE=AF且BE⊥AF.理由如下:

设BE与AF的交点为G.

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD=CD,∠BAD=∠D=90°.

又∵DE=CF,∴AE=DF,

∴△ABE≌△DAF(SAS),

∴BE=AF,∠ABE=∠DAF.

∵∠DAF+∠BAF=90°,

∴∠ABE+∠BAF=90°,

∴∠AGB=90°,即BE⊥AF.

【应用迁移】

解：相等.理由如下：

如图,过点A作AR∥EF交CD于点R,过点D作DT∥MN交BC于点T,DT和AR交于点O