湖南省娄底市2024-2025学年高三上学期1月期末数学试题（原卷版）.docx

娄底市2024年秋季高三教学质量检测

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.）

1.命题“，”的否定是（）

A.，B.，

C.，D.，

2.已知复数z满足，则（）

A.B.C.D.

3.已知集合，，若，则实数a取值范围是（）

A.B.C.D.

4.若，则下列结论一定正确的是（）

AB.

C.D.

5.在中，点D在边上，且，设，，则（）

A.B.

C.D.

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6.如图，在圆锥中，是底面圆的直径，已知，，M是的中点，二面角

的大小为.则圆锥的体积为（）

A.B.C.D.

7.已知，，则下列结论正确的是（）

A.且B.且

C.D.

8.已知点F是抛物线的焦点，点A是抛物线E上一点.过点A作圆的两条切线，

切点分别为B，C，且分别交抛物线的准线于M，N两点，M，N位于y轴异侧（如图所示）.若

，则的长为（）

A.2B.3C.4D.

二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9.已知函数，将的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，

则关于函数，下列结论正确的是（）

A.函数最小正周期为

B.函数图象关于点对称

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C.函数图象关于直线对称

D.函数在区间上单调递减

10.设A，B是一次随机试验中的两个事件，且，，，则

（）

A.A，B相互独立B.

C.D.

11.已知函数定义域为，区间，若，，则称是在D上的不动

点，集合为在D上的不动点集.若函数

在R上的不动点集为，下列结论正确的是（）

A.B.

C.D.

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）

12.函数在点处的切线方程为________.

13.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值

为________.

14.已知椭圆的左，右焦点分别为，，其中，直线

与椭圆C交于P，Q两点，记的面积为S，若时，，则椭圆C的

离心率的取值范围为________.

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

15.已知数列满足：，.

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（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前n项和为，若，求证：.

16.为激发学生注重学科核心素养的培养，某校数学教研组开展数学基本技能比赛，比赛采用自主报名参赛

方式，全校共有200名学生自主报名参赛，统计参赛成绩，参赛学生所得分数的分组区间为，

，，得到如下的频数统计表：

分数区间

性别

男生/名154560

女生/名252530

（1）若学生得分不低于90分，则认为基本技能优秀，得分低于90分，则认为基本技能良好，依据小概率

值的独立性检验，分析该校学生的基本技能与性别是否有关？

（2）为进一步调研男生和女生在基本技能上的差异，在参加数学基本技能比赛的200名学生中，按性别比

例分层抽样的方式随机抽取5名学生进行问卷调研，然后再从这5名学生中随机抽取3名学生进行座谈调

研，记取出的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望.

附：

α0.100.050010

2.7063.8416.635

，.

17.如图，在三棱柱中，D为边上（异于A，C两点）的动点，平面与边交

于点E.

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（1）请判断四边形的形状，并说明理由；

（2）已知侧面底面，，，，求直线

与平面所成角的大小.

18.已知函数，.

（1）证明：函数与的图象关于直线对称；

（2）设.

（ⅰ）判断函数的单调性；

（ⅱ）证明：，.

19.已知，分别是双曲线的左、右焦点，D是双曲线C的右支上一点，

若，双曲线E的离心率为.