2025年中考数学一轮专题复习强化练习专项训练09　利用“将军饮马”解决线段最值问题 （含答案）.docx

专项训练九利用“将军饮马”解决线段最值问题

1.在一条沿直线MN铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区,现要求在MN上选取一点P,向两个小区铺设电缆.下面四种铺设方案中,使用电缆材料最少的是()

A. B. C. D.

2.如图,在五边形ABCDE中,∠BAE=α(∠BAE为钝角),∠B=∠E=90°,在BC,DE上分别找一点M,N,当△AMN周长最小时,∠MAN的度数为 ()

A.12α B.α-90° C.2α-180° D.α-

3.如图,等边三角形ABC的边长为2,过点B的直线l⊥AB,且△ABC与△ABC关于直线l对称,D为线段BC上一动点,则AD+CD的最小值是 ()

A.4 B.32 C.23 D.2+3

4.(2023·宜宾)如图,M是正方形ABCD边CD的中点,P是正方形内一点,连接BP,线段BP以点B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ,连接MQ.若AB=4,MP=1,则MQ的最小值为.?

5.如图,E,F是正方形ABCD的边AB的三等分点,P是对角线AC上的动点,当PE+PF取得最小值时,APPC的值是

6.(2023·达州)在△ABC中,AB=43,∠C=60°,在边BC上有一点P,且BP=12AC,连接AP,则AP的最小值为

7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以点C为顶点的正方形CDEF(C,D,E,F四个顶点按逆时针方向排列)可以绕点C自由转动,且CD=2,连接AF,BD.

(1)求证:△FCA≌△DCB.

(2)在正方形CDEF旋转过程中,求BD+22AD的最小值

1.如图,网格纸上每个小正方形的边长为1,点A,点C均在格点上,点P为x轴上任意一点,则△PAC周长的最小值为.?

2.(2023·自贡)如图1,一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起,M,N分别是斜边DE,AB的中点,DE=2,AB=4.

(1)将△CDE绕顶点C旋转一周,请直接写出点M,N距离的最大值和最小值.

(2)将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°(如图2),求MN的长.

图1图2

3.(2023·宜宾)如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰直角三角形ABC的直角顶点C(3,0),顶点A,B(6,m)恰好落在反比例函数y=kx第一象限的图象上

(1)分别求反比例函数的解析式和直线AB所对应的一次函数的解析式.

(2)在x轴上是否存在一点P,使△ABP周长的值最小?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.

【详解答案】

基础夯实

1.A

2.C解析:如图,作点A关于BC对称的点A,作点A关于DE对称的点A,则AE=AE,AB=AB,连接AA,分别交线段BC和线段DE于点M和点N,连接AM,AN,这时候△AMN的周长取最小值.

∵∠B=∠E=90°,

∴AM=AM,AN=AN,

∴∠AAM=∠AAM,∠AAN=∠AAN,

∴∠AMN=2∠AAM,∠ANM=2∠AAN,

∵∠MAN+∠MAB+∠NAE=α,∠MAN+∠AMN+∠ANM=180°,

∴∠MAN+2∠BAM+2∠EAN=180°,

∴∠BAM+∠EAN=180°-α,

∴∠MAN=α-(180°-α)=2α-180°.

故选C.

3.A解析:连接CC,如图所示.

∵△ABC、△ABC均为等边三角形,

∴∠ABC=∠A=60°,AB=BC=AC,∴AC∥BC,

∴四边形ABCC为菱形,

∴点C关于BC对称的点是A,

∴当点D与点B重合时,AD+CD取最小值,最小值为AA的长.

∵AA=AB+AB=2+2=4,

∴AD+CD的最小值为4.故选A.

4.210-1解析:如图,连接BM,将BM以点B为中心逆时针旋转90°,点M的对应点为点E.∵点P的运动轨迹是以点M为圆心,1为半径的半圆,∴点Q的运动轨迹是以点E为圆心,1为半径的半圆.当M,Q,E三点共线时,MQ的值最小.∵四边形ABCD是正方形,∴CD=AB=BC=4,∠C=90°.∵M是CD的中点,∴CM=2.∴BM=CM2+BC2=22+42=25.由旋转,得BM=BE,∠MBE=90°.∴ME=2BM=210.∴MQ=ME-

5.27解析:如图,作点F关于AC的对称点F,连接EF交AC于点P,过点F作AD的垂线段,交AC于点K.由题意,得此时点F落在AD上,且根据对称的性质,当点P与点P重合时,PE+PF取得最小值.设正方形ABCD的边长为a,则AF=AF=23a.∵四边形ABCD是正方形,∴∠FAK=45°,∠PAE=45°,AC=2a.∵FK⊥AF,∴∠FAK=∠FKA=45°.∴∠FKP=∠EAP=45°.∴AK=223a.∵∠FPK=∠EPA,∴△FKP∽△EAP.∴FKEA=KP