第2.5讲 二次函数与幂函数（解析版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）.docx

第二章函数

第2.5讲二次函数与幂函数

1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.

2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．

题型一幂函数的概念

题型二幂函数的性质

题型三二次函数的解析式

题型四二次函数的图象与性质

1．幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．

(2)常见的五种幂函数的图象

(3)幂函数的性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；

④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．

2．二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．

零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．

(2)二次函数的图象和性质

函数

y＝ax2＋bx＋c(a0)

y＝ax2＋bx＋c(a0)

图象(抛物线)

定义域

R

值域

eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))

eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))

对称轴

x＝－eq\f(b,2a)

顶点坐标

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))

奇偶性

当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数

单调性

在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；

在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增

在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；

在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减

题型一幂函数的概念

1．已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过点，则f(9)＝（????）

A． B．

C．3 D．

【答案】C

【详解】由题意f(2)＝2α＝，

所以α＝，所以f(x)＝，

所以f(9)＝＝3.

故选：C

2．图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（????）

A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3

【答案】D

【详解】由题图知：，，，

所以，，依次可以是，，3．

故选：D

3．函数的图象如图所示，则的值为（????）

??

A． B．0 C．1 D．2

【答案】C

【详解】由图象可知函数为偶函数，且在第一象限内单调递减，

所以，解得，

因为，所以，或，或，

当时，为奇函数，不合题意，

当时，为偶函数，符合题意，

当时，为奇函数，不合题意，

所以，

故选：C

4．设，，，则（???）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】构造幂函数，由该函数在定义域内单调递增，且，故

故选：B

5．如图所示是函数(且互质)的图象，则（????）

A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且

C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，且

【答案】C

【详解】解：函数的图象关于轴对称，故为奇数，为偶数，

在第一象限内，函数是凸函数，故，

故选：C.

题型二幂函数的性质

6．已知幂函数在上单调递减，则（????）

A．2 B．16 C． D．

【答案】D

【详解】由题意得，解得，

所以，故,

故选：D

7．函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且，，则的值（????）

A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断

【答案】A

【详解】对任意的，且，满足，函数是单调增函数，

是幂函数，可得，解得或，

当时，；当时，，不满足单调性，排除，

故，．

，，故恒成立．

故选：A

8．点在幂函数的图象上，则函数的值域为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：因为点在幂函数的图象上，

所以，即，

，所以，

故，，

，

因为，所以，

所以，

所以函数的值域为.

故选：B.

9．已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，

所以，解得，

因为，所以或，

当时，，图象关于轴对称，不满足题意；

当时，，图象关于原点对称，满足题意，

不等式化为，

，

因为函数在上递减，

所以，

解这个不等式，得，

即实数的取值范围是，故选B.

10．设，表