第2.6练 指数与指数函数（解析版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）.docx

第二章函数

第2.6练指数与指数函数

一、单选题

1．若函数是指数函数，则等于（????）

A．或 B． C． D．

【答案】C

【详解】因为函数是指数函数，

所以.

故选：C

2．函数在上的最大值是（）

A． B．0

C．1 D．3

【答案】D

【详解】函数在上单调递减，

所以当时，.

故选：D

3．设，，，则a，b，c的大小关系是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】，，所以，而，

所以

故选：D

4．函数的单调递增区间为（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】令，解得，

所以函数的定义域为，

因为开口向下，对称轴为，

可知在上单调递增，在上单调递减，

且在定义域内单调递增，

所以在上单调递增，在上单调递减，

又因为在定义域内单调递增，

所以在上单调递增，在上单调递减，

即函数的单调递增区间为.

故选：B.

5．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（????）

A．9 B． C． D．

【答案】C

【详解】曲线且中，由，得，因此该曲线过定点，

即，于是，又，

因此，当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为16.

故选：C

6．函数的零点个数为（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【详解】由，得，因此函数的零点即为函数与的图象交点横坐标，

在同一坐标系内作出函数与的图象，如图，

????

观察图象知，函数与的图象有唯一公共点，

所以函数的零点个数为1.

故选：B

7．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有一物体放在的空气中冷却，物体的温度为，再过后物体的温度为，则该物体的初始温度约为（????）（结果精确到个位）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题意可知，

，

所以，，

故选：B

8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用[x]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：，已知函数，则函数的值域为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】因为，所以,

又，所以,

由高斯函数的定义可得：函数的值域为,

故选：C.

二、多选题

9．已知函数，则（????）

A．的值域为 B．是上的增函数

C．是上的奇函数 D．有最大值

【答案】ABC

【详解】解：由题意得：

函数的定义域为

对于选项A：函数是一条连续的曲线，当趋向于负无穷时，趋近于正无穷，趋近于零，

所以趋近于负无穷，当趋向于正无穷时，趋近于零，趋近于正无穷，

所以趋近于正无穷，所以的值域为，故A正确；

对于选项B：因为函数在上单调递减，函数在上单调递增，所以是上的增函数，故B正确；

对于选项C：的定义域关于原点对称，又，所以是上的奇函数，故C正确；

对于选项D：是上的增函数，无最值，所以D错误.

故选：ABC

10．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若实数，则下列不等式一定成立的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【详解】对于A中，当，时，满足，此时，故A不成立；

对于B中，当，时，满足，此时，故B不成立；

对于C中，因为实数，所以，故C成立；

对于D，因为实数，，所以，故D成立．

故选：CD．

11．若，则下列选项中不正确的是（）

A．在上单调递减

B．与的图象关于y轴对称

C．的图象过点

D．的值域为

【答案】ACD

【详解】因为在R上单调递增，则A错误；

与的图象关于y轴对称，则B正确；

由，得的图象过点，则C错误；

由，可得，则D错误，

故选：

12．已知函数和分别为奇函数和偶函数，且，则（????）

A．

B．在定义域上单调递增

C．的导函数

D．

【答案】BD

【详解】由得，由于函数和分别为奇函数和偶函数，所以，因此，

对于A,,故A错误，

对于B，由于函数在单调递增，在单调递减，所以在单调递增，故B正确，

对于C，当且仅当时取等号，

而，所以C错误，

对于D，，当且仅当时取等号，所以D正确，

故选：BD

三、填空题

13．已知m，n是正实数，函数的图像经过点，则的最小值为.

【答案】/

【详解】当时，，且，则，

，

当且仅当，即时等号成立，

故答案为：.

14．设，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是.

【答案】

【详解】作出函数的图象，如图所示，

因为由三个不同的实数根，

即函数与的图象有三个不同的交点，

结合图象，可得，即实数的取值范围为.

故答案为：.

??

四、解答题

15．化简与求值：

(1)；

(2)．

【详解】（