专题2.9 函数的零点（解析版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）.docx

第二章函数

专题2.9函数的零点

1.理解函数的零点与方程的解的联系.

2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.

3.了解用二分法求方程的近似解．

考点一零点所在区间判断

考点二判断零点的个数

考点三根据零点求的个数参数

考点四根据零点的分布求参数

1．函数的零点与方程的解

(1)函数零点的概念

一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．

(2)函数零点与方程实数解的关系

方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)有零点?函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．

(3)函数零点存在定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，并且f(a)f(b)0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即?x0∈(a，b)，f(x0)＝0.

2．二分法

对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

常用结论

1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．

2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

第一部分核心典例

题型一零点所在区间判断

1．方程的根所在区间是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】设，则方程根所在区间即为零点所在区间，

与在上均为增函数，在上单调递增；

对于A，，当时，，A错误；

对于B，，，即，

，使得，B正确；

对于CD，当时，，在区间和上无零点，C错误，D错误.

故选：B.

2．函数的一个零点所在的区间为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】，

当时，，当时，，

故在上为减函数，在上为增函数，

又，，

根据零点存在性定理及函数的单调性可得函数在内有零点，

故选：B.

3．函数的零点所在区间是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因为在上单调递增，所以在上单调递增，

所以至多有一个零点，

因为，，

所以在零点在区间，

故选：A．

题型二判断零点的个数

4．设函数，则函数的零点的个数是（????）

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】C

【详解】函数的图象如下图所示：

??

令，则函数的零点满足，即，

所以??，

当时，则，结合函数的图象可得的根有3个；

当时，则，结合函数的图象可得的根有1个；

当时，则，结合函数的图象可得的根有0个；

综上可得，函数的零点的个数是个.

故选：C.

5．已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（????）

A．1 B．3 C．5 D．7

【答案】D

【详解】首先由定义知道，又由的定义域知道，所以有.

然后在同一直角坐标系中先分别画出和的图象，如下图所示：

??

设方程的三个根从大到小依次排列为，

则由图可知.

现在在同一直角坐标系中先分别画出，，，的图象如下图：

??

由图可知分别与，，的图象分别交于一共七个点，

所以方程有7个根，

则函数的零点个数为7.

故选：D.

6．已知函数，则方程的根的个数是（????）

A．9 B．8 C．7 D．6

【答案】B

【详解】当时，，

当时，，

当时，，

根据函数的解析式特征，可知，

由，

所以函数在同一直角坐标系内的图象如下图：

方程的根的个数就是这两个函数图象交点的个数，通过图象可以判断只有8个交点，

故选：B

??

题型三根据零点求的个数参数

7．已知函数，若的零点个数为2，则实数的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】由题知，

函数，

作出的图象，利用数形结合思想可知：

??

当时，与有两个交点.

故选：B.

8．函数的定义域为，当时，且，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】先作出在上的图象，根据可知在上的图象为在上的图象向右平移2个单位且纵坐标变为原来的一半得到，

同理得到上的图象，如图：

????

函数有四个不同的零点可看作与有四个不同的交点，

由图可知，故.

故选：A．

9．已知函数，．若有2个零点，则实数a的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】时，，函数在上单调递减，，

令可得，作出函数与函数的图象如图所示：

??

由上图可知，当时，函数与函数的图象有2个交点，此时，函数有2个零点．因此，实数a的取值范围是．

故选：D．

题型四根据零点的分布求参数

10．已知方程有两个不同的解，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】??

由于，即，在同一坐标系下做出函数及的图像，如图所示：

由图知在上是减