专题2.10 函数的综合应用（解析版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）.docx

第二章函数

专题2.10函数模型的应用

1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.

2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.

3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．

考点一用函数图象刻画变化过程

考点二已知函数模型的实际问题

考点三构造函数模型的实际问题

知识梳理

1．三种函数模型的性质

函数

性质

y＝ax(a1)

y＝logax(a1)

y＝xn(n0)

在(0，＋∞)上的增减性

单调递增

单调递增

单调递增

增长速度

越来越快

越来越慢

相对平稳

图象的变化

随x的增大逐渐表现为与y轴平行

随x的增大逐渐表现为与x轴平行

随n值的变化而各有不同

2．常见的函数模型

函数模型

函数解析式

一次函数模型

f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)

二次函数模型

f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

反比例函数模型

f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数，k≠0)

指数函数模型

f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)

对数函数模型

f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)

幂函数模型

f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)

第一部分核心典例

题型一用函数图象刻画变化过程

1．为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知在药熏过程中，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与时间t（单位：h）的关系如图所示，函数关系式为（a为常数）.据测定，当室内每立方米空气中的含药量降到0.25mg以下时，学生方可进教室.从药熏开始，至少经过小时后，学生才能回到教室，则（????）

????

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【详解】当时，，代入解析式得，得，

令，解得，即，，

故选；C

2．甲、乙二人从A地沿同一方向去B地,途中都使用两种不同的速度v1与v2（v1＜v2）,甲前一半的路程使用速度v1,后一半的路程使用速度v2；乙前一半的时间使用速度v1,后一半的时间使用速度v2,关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系,有如图所示的四个不同的图示分析（其中横轴t表示时间,纵轴s表示路程,C是AB的中点）,则其中可能正确的图示分析为

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】由题意可知,开始时,甲、乙速度均为v1,所以图象是重合的线段,由此排除C,D,再根据v1＜v2可知两人的运动情况均是先慢后快,图象是折线且前“缓”后“陡”,故图示A正确．

故选:A.

3．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积V（立方米）的反比例函数，其图像如图所示，则这个函数的解析式为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】因为气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，所以可设，由题图可知，点在函数图像上，所以，解得，故．

故选：D．

题型二已知函数模型的实际问题

4．北京时间2020年11月24日4时30分，中国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭，成功将嫦娥五号月球探测器送人地月转移轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量的函数关系是．按照这个规律，若火箭的最大速度可达到第三宇宙速度，则火箭的燃料质量与火箭质量之比（????）（参考数据：）

A．0.008350 B．1.008385 C．1.000035 D．0.008385

【答案】D

【详解】由题意得，解得.

故选：D

5．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为℃，空气温度为℃，则分钟后物体的温度（单位：℃，满足：)若常数，空气温度为℃，某物体的温度从℃下降到℃，大约需要的时间为（????）（参考数据：）

A．39分钟 B．41分钟 C．43分钟 D．45分钟

【答案】B

【详解】由题知，，，

，

，

，

，

.

故选：B.

6．某地有一片长期被污染水域，经过治理后生态环境得到恢复，在此水域中生活的鱼类数量可以采用阻滞增长模型进行预测，其中为年后的鱼类数量，为自然增长率，（单位：万条）为饱和量，（单位：万条）为初始值.已知2022年底该水域的鱼类数量为20万条，以此为初始值，若自然增长率为，饱和量为1600万条，那么预计2032年底该水域的鱼类数量约为（参考数据）（????）

A．68万条 B．72万条 C．77万条 D．83万条

【答案】C

【详解】根据题中所给函数模型，代入有关数据，以2022年的数量为初始值，

所以有，

所以预计2032年底该水域的鱼类数量约为77万条，

故选：C

题型三构造函数模型的实际问题

7．关于数学建模的认识