专题3.2 导数与函数的单调性（原卷版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）.docx

第三章导数及其应用

专题3.2导数与函数的单调性

1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.

2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).

3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用．

考点一不含参函数的单调性

考点二含参数的函数的单调性

考点三函数单调性的应用

知识梳理

1．函数的单调性与导数的关系

条件

恒有

结论

函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导

f′(x)0

f(x)在区间(a，b)上是增函数

f′(x)0

f(x)在区间(a，b)上是减函数

f′(x)＝0

f(x)在区间(a，b)上是常数函数

2.利用导数判断函数单调性的步骤

第1步，确定函数的定义域；

第2步，求出导数f′(x)的零点；

第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．

常用结论

1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．

2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)0有解．

第一部分核心典例

题型一不含参函数的单调性

1．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数的单调增区间．

已知函数，求的单调区间

3．求函数的单调区间.

已知函数.求单调区间.

5．已知函数.求函数的单调区间.

题型二含参数的函数的单调性

6．已知函数.

（1）若在区间上为增函数，求a的取值范围.

（2）若的单调递减区间为，求a的值.

7．已知函数.

（1）若函数上是减函数，求实数a的最小值；

（2）若，使（）成立，求实数a的取值范围.

8．已知函数．

(1)若函数的单调递减区间为，求实数a的值；

(2)若函数在单调递减，求实数a的取值范围．

9．已知函数.

(1)若，求函数的极值；

(2)若函数在上单调递增，求a的取值范围.

10．已知函数的图象与函数的图象关于点对称．

（1）求的解析式；

（2）若，且在区间上为减函数，求实数的取值范围．

题型三函数单调性的应用

11．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若，求的最小值．

已知函数．已知，，求证：．

13．已知函数．

(1)求的极值；

(2)比较的大小，并画出的大致图像；

(3)若关于的方程有实数解，直接写出实数的取值范围．

14．已知函数.

(1)求函数在处的切线方程；

(2)若函数在上严格递减，求实数的取值范围.

15．已知函数，其图象在点处的切线方程为．

(1)求，的值与函数的单调区间；

(2)若对，，不等式恒成立，求的取值范围．

第二部分课堂达标

一、单选题

1．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（????）

A． B． C． D．

2．函数的单调增区间（????）

A． B．

C． D．

3．若函数在上是增函数，则实数a的取值范围为（????）

A． B． C． D．

4．已知函数的图象如图所示，则下列说法中错误的是（????）

??

A．在区间上单调递减

B．在区间上单调递增

C．当时，0

D．当时，=0

5．已知是定义在R上的奇函数，的导函数为，若恒成立，则的解集为（????）

A． B． C． D．

6．已知函数的定义域是，其导函数为，且，则不等式的解集是（????）

A． B． C． D．

7．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

8．已知函数，若为上的增函数，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知，下列说法正确的是（????）

A．在处的切线方程为 B．的单调递减区间为

C．在处的切线方程为 D．的单调递增区间为

10．已知函数，则满足的整数的取值可以是（????）

A． B．0 C．1 D．2

三、填空题

11．函数的增区间为．

12．已知函数，若函数恰有一个实根，则实数的取值范围是

四、解答题

13．确定函数的减区间．

14．已知y＝x2-3lnx．

(1)求该曲线在处的切线方程；

(2)求该函数的单调减区间．

15．已知函数．

(1)求的单调递减区间；

(2)若对于恒成立，求的取值范围．