专题6.3 等比数列（原卷版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）.docx

第六章数列

专题6.3等比数列

1.理解等比数列的概念.

2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.

3.了解等比数列与指数函数的关系．

考点一等比数列基本量的运算

考点二等比数列的判定与证明

考点三等比数列的性质

知识梳理

1．等比数列有关的概念

(1)定义：一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即eq\f(an＋1,an)＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比.

(2)等比中项：如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项，即G2＝xy.

2．等比数列的通项公式及前n项和公式

(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1.

(2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m.

(3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq\f(a1?1－qn?,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).

3．等比数列性质

(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N+.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝aeq\o\al(2,w)，其中m，n，w∈N+.

(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N+)．

(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{an·bn}，{pan·qbn}和eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(pan,qbn)))也是等比数列(b，p，q≠0)．

(4)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(n为偶数且q＝－1除外)

(5)若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10，,q1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10，,0q1，))则等比数列{an}递增．

若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10，,0q1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10，,q1，))则等比数列{an}递减．

第一部分核心典例

题型一等比数列基本量的运算

1．若为实数，数列﹣1，，﹣25是等比数列，则的值为（????）

A．5 B．﹣5 C． D．﹣10

2．已知等比数列的各项均为正数，若，，则（????）

A． B． C．27 D．

3．在等比数列中，，则其公比q的值为（????）

A． B． C．1或 D．﹣1或

4．在等比数列中，，，则（??）

A．8 B．6 C．4 D．2

5．记为等比数列的前项和，且成等差数列，则（????）

A．126 B．128 C．254 D．256

题型二等比数列的判定与证明

6．斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用.斐波那契数列满足，.给出下列四个结论：

①存在，使得，，成等差数列；

②存在，使得，，成等比数列；

③存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列；

④存在正整数，且，使得.

其中所有正确的个数是（????）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．数列的前n项和，则（????）

A．是等差数列 B．是等差数列也是等比数列

C．是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列

8．已知数列的通项公式为，则数列是（????）

A．以1为首项，为公比的等比数列 B．以3为首项，为公比的等比数列

C．以1为首项，3为公比的等比数列 D．以3为首项，3为公比的等比数列

9．已知数列的前n项和（，，q为非零常数），则数列为（）

A．等差数列 B．等比数列

C．既不是等差数列，也不是等比数列 D．既是等差数列，又是等比数列

10．已知数列是等差数列，其前n项和为，则下列说法错误的是（????）

A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等差数列

C．数列一定是等差数列 D．数列可能是常数数列

题型三等比数列的性质

11．已知等比数列中，，则（????）

A．4 B．±4 C．8 D．±8

12．在各项均为正数的等比数列中，，则（????）

A．有最小值12 B．有最大值12 C．有最大值6 D．有最小值6

13．已知数列是等差数列，是等比数列，且，，成等差数列，则（????）

A． B． C．2 D．4

14．已知等比数列的前项和为，且数列是等差数列，则（????）

A．1或 B．1或 C．2或 D．或

15．已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（????）

A．90 B．135 C．150 D．180

第二部分课堂达标

一、单选题

1．在等比数列中，，，则首项等于（????）

A．2 B．1 C． D．

2．设是等比数列，