专题08 幂函数和函数的图像-2020-2021学年高一年级数学暑假课程专题（人教版）.docx

专题08幂函数和函数的图像

【知识导图】

一、幂函数的定义

一般地，形如的函数称为幂函数，其中是常数．自变量x是幂的底数，换句话说，幂的底数是单变量x，幂指数是个常数，幂的系数是1，符合上述形式的函数，就是幂函数．

二、幂函数的图象与性质

定义域

R

R

R

[0，＋∞)

值域

R

[0，＋∞)

R

[0，＋∞)

(0，＋∞)

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

非奇非偶

奇函数

偶函数

单调性

递增

(－∞，0)

减

递增

[0，＋∞)

增

(－∞，0)

减

(－∞，0)

增

(0，＋∞)

增

(0，＋∞)

减

(0，＋∞)

减

定点

(1，1)

这些函数虽然定义域不同，但有公共区间．

为了更好地观察函数图象特征，总结幂函数的性质，我们把6个幂函数的图象画在同一平面直角坐标系中．

虽然这6个幂函数图象所分布的象限不同，但是我们还是不难发现它们共同的特征．这6个幂函数在都有定义，图象都过点(1，1)．

注意到这6个幂函数在第一象限内的单调性的差异，性质总结如下：

在有定义，图象过点(1，1)；

在上是增函数

在上是减函数

图象过原点

其基本步骤是列表、描点、连线，首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线．

三、利用基本函数的图象作图

1.平移变换

(1)水平平移：的图象，可由的图象向左(＋)或向右(－)平移个单位而得到．

(2)竖直平移：的图象，可由的图象向上(＋)或向下(－)平移个单位而得到．

2.对称变换

(1)与的图象关于轴对称．

(2)与的图象关于轴对称．

(3)与的图象关于原点对称．

(4)要得到的图象，可将的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，其余部分不变．

(5)要得到的图象，可将，的部分作出，再利用偶函数的图象关于轴的对称性，作出时的图象．

3.伸缩变换

(1)的图象，可将图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变而得到．

(2)的图象，可将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变而得到．

类型一幂函数的概念

【例题1】函数是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．

例题

例题2例题1

【例题2】已知幂函数的图象经过点(9，3)，则f(100)＝________．

类型二幂函数的图象

【例题1】如图所示，图中的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知n取±2，四个值，则相应于c1，c2，c3，c4的n依次为()

A．－2，，，2B．2，，，－2

C．，－2，2，D．2，，－2，

【例题2】如图是幂函数与在第一象限内的图象，则()

A．－1＜n＜0＜m＜1B．n＜－1，0＜m＜1

C．－1＜n＜0，m＞1D．n＜－1，m＞1

类型三比较幂的大小

【例题1】比较下列各组数中两个数的大小：

(1)与；(2)与；(3)与；(4)0.20.6与0.30.4．

【例题2】比较下列各组数的大小：

(1)与；(2)－3.143与－π3；(3)与．

类型四含绝对值的函数

【例题1】若关于的方程只有一个解，则实数的取值范围是________．

【例题2】分别画出下列函数的图象：

（1）；（2）；（3）.

类型五判断函数的图象

【例题1】已知定义在区间上的函数的图象如图所示，则的图象为()

【例题2】在下列图象中，二次函数与指数函数的图象只可能是（）

B.C.D.

1．下列函数是幂函数的是()

A．y＝5xB．y＝x5C．y＝5xD．y＝(x＋1)3

2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是()

A．y＝xB．y＝xC．y＝xD．y＝x

3．设α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，1，\f(1,2)，3))，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为()

A．1，3B．－1，1C．－1，3D．－1，1，3

4．若，，c＝(－2)3，则a、b、c的大小关系为________．

5．幂函数在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________．

6．已知幂函