专题9.2 用样本估计总体（原卷版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）.docx

第九章统计

专题9.2用样本估计总体

会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的p%分位数.2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．

考点一样本的数字特征和百分位数的估计

考点二总体集中趋势的估计

考点三总体离散程度的估计

1．百分位数

设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取为p%分位数；如果i是整数，取eq\f(xi＋xi＋1,2)为p%分位数．特别地，规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是xn(即最大值)．

2．平均数、中位数和众数

(1)平均数：eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．

(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)．

(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．

3．方差和标准差

(1)方差：s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2或eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－eq\x\to(x)2.

(2)标准差：s＝eq\r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n,)?xi－\x\to(x)?2).

4．用样本的数字特征估计总体的数字特征

(1)一般情况下，如果样本容量恰当，抽样方法合理，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的数字特征即可．

(2)对于分层抽样的情况，我们以分两层抽样的情况为例．假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为eq\x\to(x)，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为eq\x\to(y)，方差为t2.则eq\x\to(x)＝eq\f(1,m)eq\i\su(i＝1,m,x)i，s2＝eq\f(1,m)eq\i\su(i＝1,m,)(xi－eq\x\to(x))2，eq\x\to(y)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i，t2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\x\to(y))2.

如果记样本均值为eq\x\to(a)，样本方差为b2，则可以算出

eq\x\to(a)＝eq\f(1,m＋n)(eq\i\su(i＝1,m,x)i＋eq\i\su(i＝1,n,y)i)＝eq\f(m\x\to(x)＋n\x\to(y),m＋n)，

b2＝eq\f(m[s2＋?\x\to(x)－\x\to(a)?2]＋n[t2＋?\x\to(y)－\x\to(a)?2],m＋n)

＝eq\f(1,m＋n)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(?ms2＋nt2?＋\f(mn,m＋n)?\x\to(x)－\x\to(y)?2)).

常用结论

1．若x1，x2，…，xn的平均数为eq\x\to(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为meq\x\to(x)＋a.

2．数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变．

3．若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.

题型一样本的数字特征和百分位数的估计

1．国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩单位：环，6，9，7，4，8，9，10，7，5，则这组数据第70百分位数为（????）

A．7 B．8 C． D．9

2．有20种不同的绿色食品，每100克包含的能量（单位：）如下：

110???120???120???120???123???123???140???146???150???162

164???174???190???210???235???249???280???318???428???432

根据以上数据，估计这些食品每100克包含能量的第50百分位数是（????）

A．165 B．164 C．163 D．162

3．二十大报告明确指出，人民健康是民族昌盛和国家强盛的重要标志．青少年处于健康生长的关键时期，其身高和体重是反映他们生长发育和营养状况的基本指标．某校从高一年级随机抽取了20名女生，得到她们的身高数据如下（单位：）：．则这组数据的第一四分位数（????）

A．155 B．155.5 C．156 D．156.5

4．某校高一年级个班参加朗诵比赛的得分如下：，，，，，，，，，，，，，，，则这组数据的分位数、分位数分别为（????）

A．， B．， C．， D．，