模型5 “8字”模型（含答案）2025年中考数学几何模型专题复习.docx

专题二三角形

模型5“8字”模型

基础模型

图示

条件

AC与BD相交于点O，连接AB，CD(两条线段相交，含对顶角)

结论

1.∠A+∠B=∠C+∠D;

2.AB+CDAC+BD

结论分析

结论1:∠A+∠B=∠C+∠D

结论2:AB+CDAC+BD

自主证明：(提示：用三角形三边关系求证)

证明:在△ABO中,∠A+∠B+∠AOB=180°,

∴∠A+∠B=180°-∠AOB,

在△CDO中,∠C+∠D+∠COD=180°,

∴∠C+∠D=18

∵∠AOB=∠COD(对顶角相等),

∴∠A+∠B=∠C+∠D.

注：根据三角形内外角关系结合对顶角相等也可证得.

模型拓展

图示

条件

EC与BD相交于点O,点A在OE上,连接AB,CD,BE

AC与BD相交于点O,连接AB,CD,AE平分∠BAC,DE平分∠BDC,AE与DE交于点E

结论

∠OAB+∠OBA=∠C+∠D=∠E+∠OBE

∠E=12

模型解题三步法

例一副三角板按如图所示位置放置，其中一块三角板的直角边EF落在另一块三角板的斜边AC上,边BC与DF交于点G,与ED交于点H.则∠BGD的度数为()

A.105°B.115°C.125°D.135°

题以类解

1.如图,AC与BD交于点E,连接AB,CD,AF平分∠BAC,DF平分∠BDC,若∠B=30°,∠C=20°,则∠F的度数为()

A.15°B.20°C.25°D.30°

2.如图,线段AB,CD,EF两两相交,交点分别为G,H,I,连接AC,BE,DF,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为()

A.180°B.360°

C.540°D.720°

3.如图,A,B,C,D,E是同一平面内的点,F是AB上一点,连接DF,AE,EF,AB,BC,CD,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠DFE的度数为()

A.180°B.360°

C.540°D.720°

4.把两个含30°角的直角三角板按如图所示的方式拼接在一起，点N是AB的中点，连接DN交BC于点M，则下列说法错误的是()

A.BN+CDBC+DN

B.AC+BDAN+BC

C.∠BNM-∠CDM=30°

D.∠BNM+∠CDM=90°

如图，五角星的顶点为A，B，C,D,E,连接AC,BD,CE,DA,EB,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为.

模型展现

结论2自主证明：

在△ABO中,AO+BOAB,

在△DCO中,OD+OCCD,

∴AO+BO+OD+OCAB+CD.

∵AO+OC=AC,OD+OB=BD,

∴AC+BDAB+CD,

即AB+CDAC+BD.

模型解题三步法

例A【解析】根据“8字”模型可得:∠DGC+∠D=∠C+∠DEC,∴∠DGC+45°=30°+90°,∴∠DGC=75°,∴∠BGD=180°-∠DGC=18

题以类解

1.C【解析】找模型：是否存在两条线段相交：线段AC与BD相交；是否存在相交的线段构成的一组含对顶角的三角形：△ABE和△CDE.抽离模型：如解图，用模型：根据“8字”模型可得：∠F=12

2.B【解析】∵∠A+∠C=∠IHG+∠IGH,∠B+∠E=∠IHG+∠HIG,∠D+∠F=∠HIG+∠IGH(“8字”模型),∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠IHG+∠IGH+∠IHG+∠HIG+∠HIG+∠IGH=2(∠IHG+∠IGH+∠HIG)=2×18

3.B【解析】如解图,连接AD,设DF与AE交于点O,∴∠AOD=∠EOF(对顶角相等),∴∠DFE+∠E=∠OAD+∠ODA.又∵在四边形ABCD中,∠DAB+∠B+∠C+∠ADC=360°(四边形的内角和),∴∠OAB+∠B+∠C+∠CDF+∠ODA+∠OAD=360°,即∠OAB+∠B+∠C+∠CDF+∠E+∠DFE=360°.

4.D【解析】在△CDM和△BNM中,∵BN≤BM+MN,CDCM+DM(三角形三边关系),∴BN+CDBC+DN,故A选项正确;由题意知∠ABC=30°,∴AC=12AB,∵点N是AB的中点，

5.180°【解析】如解图,连接CD,