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椭圆的定义及标准方程

xy22

(1)已知椭C：＋＝1，M，N是坐标平面

43

内的两点，且M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分

别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝(B)

A．4B．8

C．12D．16

解析：设MN的中点为D，椭C的左、右焦点分别为F，F，

12

如图，连接DF，DF，因为F是MA的中点，D是MN的中点，

121

11

所以FD是△MAN的中位线，则|DF|＝|AN|，同理|DF|＝|BN|，所

11222

以|AN|＋|BN|＝2(|DF|＋|DF|)，因为D在椭圆上，所以根据椭圆的定

12

义知|DF|＋|DF|＝4，所以|AN|＋|BN|＝8.

12

yx22

(2)过点(3，－5)，且与椭＋＝1有相同焦点的椭圆的标

259

yx22

准方程为＋＝1.

204

yx22

解析：方法一椭＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝

259

4.

由椭的定义知，2a＝3－0＋－5＋4＋22

3－0＋－5－4，22

解得a＝25.

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2222

由c＝a－b可得b＝4，

yx22

∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.

204

yx22

方法二∵所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，

259

∴其焦点在y轴上，且c＝25－9＝16.2

yx22

设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．

ab22

∵c＝16，且c＝a－b，故a－b＝16.①222222

又(3，－5)在所求椭圆上，

－5232

∴＋＝1，

a2b2

53

即＋＝1.②

ab22

由①②得b＝4，a＝20，22