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开大微积分考试题及答案

姓名：____________________

一、选择题（每题5分，共25分）

1.下列函数中，不是初等函数的是（）

A.\(y=x^2\)

B.\(y=\sinx\)

C.\(y=\lnx\)

D.\(y=\frac{1}{x}\)

2.若函数\(f(x)=x^3-3x\)在\(x=1\)处可导，则\(f(1)\)等于（）

A.-2

B.0

C.2

D.3

3.极限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值是（）

A.0

B.1

C.\(\frac{1}{2}\)

D.不存在

4.设\(f(x)=x^2+2x+1\)，则\(f(2)\)的值是（）

A.7

B.8

C.9

D.10

5.下列各数中，属于无穷小量的是（）

A.\(\frac{1}{x}\)

B.\(x\)

C.\(x^2\)

D.\(\frac{1}{x^2}\)

二、填空题（每题5分，共25分）

1.函数\(y=\lnx\)的定义域是__________。

2.函数\(y=x^3\)的导数是__________。

3.极限\(\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}\)的值是__________。

4.若\(\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1\)，则\(f(0)\)的值是__________。

5.函数\(y=e^x\)的反函数是__________。

三、计算题（每题10分，共30分）

1.计算极限\(\lim_{x\to0}\frac{\sin2x-2x}{x^2}\)。

2.求函数\(y=x^3-3x^2+4x-1\)的导数。

3.求函数\(y=\ln(x^2+1)\)在\(x=1\)处的导数值。

四、证明题（每题10分，共20分）

1.证明：若函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，且\(f(a)\neqf(b)\)，则存在\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)。

2.证明：若函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上可导，且\(f(x)\)在\([a,b]\)上恒大于0，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上单调递增。

五、应用题（每题10分，共20分）

1.一质点在直线运动，其速度\(v(t)=t^2-2t\)（单位：m/s），求从\(t=1\)秒到\(t=3\)秒内质点所经过的位移。

2.已知函数\(y=e^x\)在点\((0,1)\)处的切线方程，求该切线与\(y\)轴的交点坐标。

六、综合题（每题10分，共20分）

1.求函数\(y=\sqrt{x^2-4}\)的定义域、值域和导数。

2.设函数\(f(x)=x^3-6x^2+9x+1\)，求\(f(x)\)的零点，并讨论\(f(x)\)的单调性。

试卷答案如下：

一、选择题答案：

1.D

2.C

3.B

4.B

5.A

解析思路：

1.初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等，故选D。

2.对函数\(f(x)=x^3-3x\)求导得\(f(x)=3x^2-3\)，代入\(x=1\)得\(f(1)=0\)，故选B。

3.根据三角函数极限公式，\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，故选B。

4.代入\(x=2\)到\(y=x^2+2x+1\)得\(y=2^2+2\cdot2+1=9\)，故选C。

5.无穷小量是指当\(x\to\infty\)或\(x\to0\)时，函数值趋于0的函数，故选A。

二、填空题答案：

1.\((0,+\infty)\)

2.\(3x^2+2x\)

3.2

4.1

5.\(y=\lnx\)

三、计算题答案：

1.\(\lim_{x\to0}\frac{\sin