第1.3讲 等式性质与不等式性质（解析版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）.docx

集合、常用逻辑用语、不等式

第1.3讲等式性质与不等式性质

掌握等式性质.

会比较两个数的大小.

3.理解不等式的性质，并能简单应用．

考向一数(式)的大小比较

考向二不等式的性质

考向三不等式性质的综合应用

1．两个实数比较大小的方法

作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b0?ab，,a－b＝0?a＝b，,a－b0?ab.))(a，b∈R)

2．等式的性质

性质1对称性：如果a＝b，那么b＝a；

性质2传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；

性质3可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；

性质4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；

性质5可除性：如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).

3．不等式的性质

性质1对称性：ab?ba；

性质2传递性：ab，bc?ac；

性质3可加性：ab?a＋cb＋c；

性质4可乘性：ab，c0?acbc；ab，c0?acbc；

性质5同向可加性：ab，cd?a＋cb＋d；

性质6同向同正可乘性：ab0，cd0?acbd；

性质7同正可乘方性：ab0?anbn(n∈N，n≥2)．

题型一数(式)的大小比较

1．已知，则对于下列不等式，正确命题的个数为（????）

（1）；（2）；（3）；（4）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【详解】对（1），若，

则，（1）错误；

对（2），若，

则，（2）错误；

对（3），因为，所以，

且，所以，（3）正确；

对（4），若，

则，（4）错误；

故选:A.

2．已知p∈R，，，则M，N的大小关系为（）

A．MN B．MN

C．M≤N D．M≥N

【答案】B

【详解】，

所以.

故选：B.

3．设＜＜＜1，则()

A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab

C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa

【答案】C

【详解】∵＜＜＜1，

∴0＜a＜b＜1.∴＝aa－b＞1.∴ab＜aa.

∵＝，,0＜＜1，a＞0，∴＜1.

∴aa＜ba.∴ab＜aa＜ba.

故答案为C

4．设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（????）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【详解】由，

可得，A中式子恒成立；

对于B，作差可得，

，

因中，

所以，

所以，

即，B中式子恒成立；

对于C，举例，

则不成立，C中式子不恒成立；

对于D，，

，

而，

可得，

则，故D中式子恒成立.

故选：C

5．对于任意实数，下列命题正确的是（????）

A．若，，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【详解】对于A，由，，取，，，，，则不成立，故A错误；

对于B，由，取，，则不成立，故B错误；

对于C，当时，不成立，故C错误；

对于D，根据，由不等式的基本性质知，故D正确．

故选：D．

题型二不等式的性质

6．已知，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】设，

所以，解得，

所以，

又，

所以，故A，C，D错误.

故选：B.

7．若a，b，c为实数，则下列命题正确的是（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【详解】对于A，若，则，A错误；

对于B，若，取，则，B错误；

对于C，∵，则，即，C正确；

对于D，∵，则，∴，D错误；

故选：C．

8．对于任意实数，给定下列命题正确的是（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【详解】解：对于A：当时，若则，故A错误；

对于B：若，，，，满足，则，，不成立，故B错误；

对于C：若，则，所以，故C正确；

对于D：若，满足，但是，故D错误；

故选：C

9．设函数，其中x，y，z均为正实数，则（????）

A．既有最大值也有最小值

B．有最大值但没有最小值

C．没有最大值但有最小值

D．前三个答案都不对

【答案】D

【详解】解：注意到，一方面由糖水不等式可得

，

且，

另一方面，把x当作主元，令，

当时，，明显当时，满足，

当时，，明显当时，满足，

故既无最大值也无最小值．

故选：D．

10．若，则下列命题正确的是（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【详解】对于A选项：当时，，，则，故A选项不正确；

对于B选项：当时，，故B选项不正确；

对于C选项：当时，，，又，，

故C选项正确；

对于D选项：，

，，，，故D选项不正确；

故选：C

题型三不等式性质的综合应用

11．已知，则下列不等式恒成立的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】对于选项A：因为，则，

且在定义域内单调递增，则，故A错误；

对于选项B：因为，则，

所以，故B正确；