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初中常见动点问题解题方法

唐江红旗学校张远强

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引言

以运动观点探究几何图形部分规律问题，称之为动态几何问题.动态几何问题充分表达了数学中“变”与“不变”友好统一，其特点是图形中一些元素（点、线段、角等）或某部分几何图形按一定规律运动改变，从而又引发了其它一些元素数量、位置关系、图形重合部分面积或某部分图形等发生改变，不过图形一些元素数量和关系在运动改变过程中却相互依存，含有一定规律可寻.

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常见动点问题

一、求最值问题

二、动点组成特殊图形问题

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一、求最值问题

初中利用轴对称性质实现“搬点移线”求几何图形中一些线段和最小值问题。利用轴对称性质处理几何图形中最值问题借助主要基本定理有三个：

（1）两点之间线段最短；

（2）三角形两边之和大于第三边；

（3）垂线段最短。

求线段和最小值问题能够归结为：一个动点最值问题，两个动点最值问题。

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一、求最值问题

例、如图，正方形ABCD面积为12，△ABE是等边

三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一动点P，

使PD+PE值最小，则其最小值是______

一个动点

特点：已知两个定点位于一条直线同一侧，在直线上确定一

动点位置，使动点与两定点线段和最小，求出最小值。

思绪：处理这类题目标方法是找出其中一定点关于直线对称点，

连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点

满足最值位置。

考题中，经常利用本身就含有对称性质图形，比如等腰三角形，等

边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点对称

点就在这个图形上。

p

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练习

1、如图，等边△ABC边长为4，AD是BC边上中线，

F是AD边上动点，E是AC边上一点，若AE=2，

当EF+CF取得最小值时，则∠ECF度数为（）

A．15°B.22.5°C.30°D.45°

2、如图，在直角梯形中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，

BC=DC=5，点P在BC上移动，当PA+PD取得

最小值时，△APD中AP边上高为_________

3、如图，⊙O半径为2，点A、B、C

在⊙O上，OA⊥OB,∠AOC=60°，P是OB上

一动点，则PA+PC最小值是________

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两个动点（一）

特点：已知一个定点位于平面内两相交直线之间，

分别在两直线上确定两个动点使线段和最小。

思绪：这类问题经过做这一定点关于两条线对称

点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同

一直线上来处理。

例、如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一

点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上动点，

求△PQR周长最小值是__________。

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例、如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一

点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上动点，

求△PQR周长最小值是__________。

解析：

90°

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练习

1.如图，已知∠AOB大小为α，P是∠AOB内

部一个定点，且OP=2，点E、F分别是OA、OB

上动点，若△PEF周长最小值等于2，则α=（）

A．30°B.45°C.60°D.90°

2.如图，∠AOB=30°，内有一点P且OP=2，

若M、N为边OA、OB上两动点，那么△PMN

周长最小为（）

A．2√6B.6C.√6/2D.√6

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两个动点（二）

特点：两动点在两条直线上，定点和其中一个动点共

线，求不共线动点分别到定点和另一动点距

离和最小值。

思绪：（1）利用轴对称变换，使不共线动点在另一动

点对称点与定点连线段上（两点之间线段

最短）

例、如图，在锐角△ABC中AB=4√2,∠BAC=45°，∠BAC平分线交BC于点D,M、N分别是AD、AB上

动点，则BM+MN最小值是________

（2）这条线段垂直于另一动点对称点所在直线时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段长。

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例、如图，在锐角△ABC中，AB