模型16 “倍长中线”模型 （含答案）2025年中考数学几何模型专题复习.docx

模型16“倍长中线”模型

基础模型

类型

倍长中线

图示

条件

AD是△ABC的边BC上的中线

结论

延长AD至点E,使DE=AD,连接BE,则△ACD≌△EBD

结论分析

结论:△ACD≌△EBD

证明:∵AD是△ABC的边BC上的中线,∴CD=BD,

又∵AD=ED,∠ADC=∠EDB,∴△ACD≌△EBD(SAS).

模型拓展

类型

倍长类中线

图示

条件

点D是BC边的中点，点E是AB上一点，连接ED

结论

延长ED至点F,使DF=ED,连接CF,则△BDE≌△CDF

模型解题三步法

例1如图,在△ABC中,∠BAC=135°,AD为BC边上的中线,且AD⊥AC,AC=2,则△ABC的面积为.

例2如图,在?ABCD中,点E是CD的中点,连接AE,过点E作EF⊥AE,交BC于点F,连接AF.若∠AFB=28°,则∠DAE的度数为.

题以类解

1.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E为AD边的中点,若CE平分∠BCD,AB=2,CD=5,则BC的长为.

2.如图,在?ABCD中,过点A作AE⊥CD于点E,点F是BC的中点,连接AF,EF,若AF=AE=4,则△AFE的面积为.

3.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,AE=2DE,AE=3,BE=5,CE=4,则△ABC的面积为.

4.如图,在△ABC中,∠A=90°,点D为BC的中点,M,N分别为边AB,AC上的点,且BM=BD,CN=CD.则∠MDN=°;若DN=2,DM=22则△CDN的周长为.

5.发现问题

小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①,已知AD是△ABC的中线,AB=6,AC=4,求AD的取值范围.

探究方法

小强所在的小组通过探究发现，延长AD至点E,使ED=AD.连接BE,可以证出△BED≌△CAD，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到△ABE中,进而求出AD的取值范围.

方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”.

(1)请你利用上面解答问题的思路方法，写出求AD的取值范围的过程；

类比迁移

(2)如图②,AD是△ABC的中线,在AD上取一点E，连接BE并延长交AC于点F，使AF=EF,求证:BE=AC;

拓展应用

(3)如图③,在矩形ABCD中,ABBC=12,在BD上取一点F,以BF为斜边作Rt△BEF,且EFBE=1

求证:EG=CG.

模型解题三步法

例12【解析】根据“倍长中线”模型得△ADC≌△EDB(SAS),∴BE=AC=2,∠E=∠DAC=90°,∵∠BAE=∠BAC--∠DAC=45°,∴AE=BE=2,∴S△ABC=S△ABE=12

例2ECDEF

14°【解析】在?ABCD中,AD∥BC,∴∠MDE=∠FCE,∠EMD=∠EFC,又∵E是CD的中点,∴DE=CE,∴△EDM≌△ECF(AAS),∴EM=EF,又∵EF⊥AE,∴AF=AM,即△AMF是等腰三角形,∴AE平分∠DAF.∵AD∥BC,∴∠DAF=∠AFB=2

题以类解

1.7【解析】找模型：是否存在四边形一边上的中点：E为AD的中点；是否存在一顶点与中点的连线：线段CE.抽离模型：如解图，延长CE到点P，使CE=PE，连接AP，用模型：根据“倍长中线”模型得△AEP≌△DEC(SAS),∴AP=CD,∠P=∠ECD,∴AP∥CD,∵AB∥CD,∴点P,A,B在同一直线上.∵CE平分∠BCD,∴∠BCP=∠DCP,∴∠BCP=∠P,∴BC=BP,∴AB+AP=AB+CD=BP=7=BC.

2.43一题多解

解法一：找模型：是否存在三角形一边上的中点：F为BC的中点；是否存在三角形一顶点与中点的连线：线段AF；抽离模型：如解图①,用模型:延长AF至点G,使得FG=AF,连接CG，根据“倍长中线”模型得△ABF≌△GCF,∴∠B=∠BCG.∵∠B+∠BCD=180°,∴∠BCG+∠BCD=180°,∴E,C,G三点共线.∵AE⊥CD,点F是AG的中点,∴AF=EF.又∵AF=AE,∴△AEF是等边三角形(三条边相等的三角形是等边三角形)，∴

解法二：找模型：是否存在三角形一边上的中点：F为BC的中点；是否存在某条边上的中点与另外两条边中的任意一条边上某点