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专题训练(八)中点四边形

类型一中点四边形形状探究

1.我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.

(1)如图8-ZT-1①,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证：中点四边形EFGH是平行四边形；

(2)连接AC,BD,若中点四边形EFGH是菱形，则AC与BD的数量关系是.

类型二中点四边形的应用

2.如图8-ZT-2,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点,则四边形EFGH的周长是()

A.7B.9C.11D.13

3.如图8-ZT-3,在四边形ABCD中,AC=BD=6,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则EG2

A.9B.18C.36D.48

4.(1)如图8-ZT-4,P是四边形ABCD内一点,且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；

(2)若改变(1)中的条件,使∠APB=∠CPD=90°,其他条件不变，直接写出中点四边形.EF-

1.解:(1)证明:连接BD.

∵E,H分别为边AB,DA的中点,

∴EH是△ABD的中位线,∴EH

∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG是△BCD的中位线,

∴FG

∴中点四边形EFGH是平行四边形.

(2)AC=BD

2.C3.C

4.解:(1)猜想:四边形EFGH是菱形.

证明:如图,连接AC,BD.

∵∠APB=∠CPD,

∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD,

即∠BPD=∠APC.

在△APC和△BPD中PA=PB,

∴△APC≌△BPD(SAS),∴AC=BD.

∵E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,

∴EF,HG,FG分别为△ABC,△ACD,△BCD的中位线,

∴EFAC,EF=

∴EF=HG,EF∥HG,∴四边形EFGH是平行四边形.

∵AC=BD,∴EF=FG,∴四边形EFGH是菱形.

(2)四边形EFGH是正方形.