专题训练 (四) 勾股定理的证明.docx

专题训练(四)勾股定理的证明

1.可以用如图4-ZT-1所示的方法证明勾股定理，其中剪开前的空白部分由2个正方形和2个全等的直角三角形组成，面积记为S?；剪开翻转后的空白部分由2个全等的直角三角形和1个正方形组成，面积记为S?.请你写出用此方法证明勾股定理的过程.

2.某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图4-ZT-2①,B是正方形ACDE的边CD上一点,连接AB,得到Rt△ACB,三边长分别为a,b,c,将△ACB裁剪拼接至△AEF的位置，如图②所示.该同学用图①、图②的面积相等证明了勾股定理.请你写出用该方法证明勾股定理的过程.

3.如图4-ZT-3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=b,BC=a,AB=c,分别以Rt△ABC的三边为边向外作正方形ABFE、正方形AJKC、正方形BCIH,过点C作AB的垂线,交AB于点D,交FE于点G,连接HA,CF.

求证:(1)△ABH≌△FBC;

(2)正方形BCIH的面积与四边形BFGD的面积相等；

3

1.证明：根据题意，得S1=

∵

2.证明:如图,连接BF.

∵AC=b,∴正方形ACDE的面积为b2.

∵CD=DE=AC=b,EF=BC=a,

∴BD=CD-BC=b-a,DF=DE+EF=a+b.

∵∠CAE=9

又∵∠BAC=∠FAE,

∴∠FAE+∠BAE=90°,

又∵AB=AF,∴△BAF为等腰直角三角形,

∴四边形ABDF的面积=12

∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等，

∴

∴

3.证明:(1)∵四边形ABFE和四边形BCIH均是正方形,

∴AB=FB,HB=CB,∠ABF=∠CBH=90°,

∴∠ABF+∠ABC=∠CBH+∠ABC,即∠CBF=∠HBA.

在△ABH和△FBC中AB=FB,

∴△ABH≌△FBC(SAS).

(2)∵四边形BCIH是正方形,

∴AIBH,∴

易得四边形BFGD是长方形，.∴CGBF,∴SFBC

∵ABH?FBC,∴SABH=SFBC,∴

(3)同(2)可得，正方形AJKC的面积与四边形ADGE的面积相等，即A

又∴AC=b,BC=a,AB=c,∴