2024届高三数学二轮复习《考法分类》专题训练（新高考）专题13 空间几何（选填题10种考法）（解析版）.docx

专题13空间几何（选填题10种考法）

考法一空间几何体的体积与表面积

【例1-1】（2023·全国·统考高考真题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（????）

A．1 B． C．2 D．3

【答案】A

【解析】取中点，连接，如图，

??

是边长为2的等边三角形，，

，又平面，，

平面，

又，，

故，即，

所以，

故选：A

【例1-2】（2023·全国·统考高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】法一：

连结交于，连结，则为的中点，如图，

因为底面为正方形，，所以，则，

又，，所以，则，

又，，所以，则，

在中，，

则由余弦定理可得，

故，则，

故在中，，

所以，

又，所以，

所以的面积为.

法二：

连结交于，连结，则为的中点，如图，

因为底面为正方形，，所以，

在中，，

则由余弦定理可得，故，

所以，则，

不妨记，

因为，所以，

即，

则，整理得①，

又在中，，即，则②，

两式相加得，故，

故在中，，

所以，

又，所以，

所以的面积为.

故选：C.

【例1-3】（2022·全国·统考高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．

棱台上底面积，下底面积，

∴

．

故选：C．

【例1-4】（2023·河南·校联考模拟预测）如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（????）

??

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】正六棱柱的六个侧面面积之和为，

正六棱柱的底面面积为，

如图所示，正六棱台中，，

过点分别作垂直于底面于点，

连接相交于点，则分别为的中点，

过点作⊥于点，连接，则为正六棱台的斜高，

其中，，，

由勾股定理得，故，

??

所以正六棱台的斜高为，

故正六棱台的侧面积为，

又正六棱台的下底面面积为，

所以该花灯的表面积为．

故选：A．

【变式】

1．（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】在中，，而，取中点，连接，有，如图，

，，由的面积为，得，

解得，于是，

所以圆锥的体积.

故选：B

2．（2023·天津·统考高考真题）在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图，分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为.

??

因为平面，平面，所以平面平面.

又因为平面平面，，平面，所以平面，且.

在中，因为，所以，所以，

在中，因为，所以，

所以.

故选：B

3．（2022·天津·统考高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（????）

A．23 B．24 C．26 D．27

【答案】D

【解析】该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成，作于M，如图，

因为，所以，

因为重叠后的底面为正方形，所以,

在直棱柱中，平面BHC，则,

由可得平面，

设重叠后的EG与交点为

则

则该几何体的体积为.

故选：D.

4．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以，

又，则，所以，所以甲圆锥的高，

乙圆锥的高，所以.故选：C.

考法二空间几何中的垂直与平行

【例2-1】（2023·江苏连云港·校考模拟预测）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（?????）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，，则 D．若，，则

【答案】C

【解析】作长方体，如下图所示：

对于A，若直线直线，直线直线，平面平面，

满足，，此时与相交，A错误；

对于B，若直线直线，平面平面，平面平面，

满足，，此时平面与平面相交，B错误；

对于C，若，则平面内存在直线，又，，

，，，C正确；

对于D