第三章 函数 第4节 二次函数的图象与性质 学案（含答案）2025年中考数学人教版一轮复习.docx

第4节二次函数的图象与性质

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【知识体系】

【考点清单】

知识点1二次函数的表达式

1.表达式的三种形式

一般式

y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)

二次项系数为a,一次项系数为b,常数项为c

顶点式

y=a(x-h)2+k(a≠0)

其中①为顶点坐标?

交点式

y=a(x-x1)(x-x2)

其中x1,x2为函数图象与x轴交点的横坐标

注:一般式通过配方法可转化为顶点式,通过因式分解可转化为交点式.

2.待定系数法确定二次函数的表达式

待定系数法一设

知识点2二次函数的图象与性质

抛物线

y=ax2+bx+c(a0)

y=ax2+bx+c(a0)

图象

顶点坐标

-b2a,②

-b2a,4ac?b

对称轴

x=-b

x=-b

开口方向

向上

向下

（续表）

增减性

在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随着x的增大而③

在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随着x的增大而④

最值

当x=-b2a时,最小值为

当x=-b2a时,最大值为

知识点3二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与a,b,c的关系

1.a决定开口方向与大小方向

2.a,b决定对称轴x=-b2a的位置b=0?对称轴为y轴ab0?对称轴在y轴的

3.c决定与y轴的交点位置c=0?抛物线经过原点

知识点4二次函数图象的平移

y=ax2的图象y=a(x-h)2的图象y=a(x-h)2+k的图象

知识点5二次函数与一元二次方程的关系

1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)实际上是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在y=0时的一个特例.可用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式来判断二次函数图象与x轴的交点个数.

判别式

Δ=b2-4ac

y=ax2+bx+c(a≠0)

ax2+bx+c=0(a≠0)

图象分布

a0

a0

Δ0

图象与x轴有两个不同的交点(x1,0),(x2,0),

且x1,2=-b±

方程有⑦的实数根x1,x2,且x1,2=?-b±

Δ=0

图象与x轴有唯一交点(x1,0),且x1=-b

方程有⑧的实数根x1,x2,且x1=x2=-?b

（续表）

Δ0

图象与x轴无交点

方程无实数根

2.利用图象可确定不等式ax2+bx+c0(a≠0)或ax2+bx+c0(a≠0)的解集,也可比较一次函数与二次函数值的大小.

【基础演练】

1.(原创)如图,结合二次函数y=x2+4x-2的图象,请回答下列问题:

(1)抛物线开口向.?

(2)抛物线的顶点坐标为.?

(3)抛物线的对称轴为.?

(4)抛物线与y轴的交点坐标为,与x轴的交点坐标为.?

(5)当时,y有最小值,最小值为.?

(6)当时,y随x的增大而增大;当时,y随x的增大而减小.?

(7)若(-5,y1),(-3,y2),(2,y3)在抛物线上,则y1,y2,y3按从小到大的排序为.?

2.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A,B,且点A的横坐标在-1和0之间,图象与y轴交于负半轴,对称轴为直线x=1.对于该二次函数,下列结论正确的为.(填序号)

①b24ac;

②a-b+c0;a+b+c0;

③若点(-0.1,y1),(1.5,y2)均在抛物线上,则y1y2;

④a0,b0,c0;

⑤点(2,c)一定在该抛物线上;

⑥2a+b=0;

⑦am2+bm≥a+b.

真题精粹·重变式

考向1二次函数的图象与性质6年6考

1.(2024·福建)已知二次函数y=x2-2ax+a(a≠0)的图象经过Aa2,y1,B(3a,y

A.可以找到一个实数a,使得y1a

B.无论实数a取什么值,都有y1a

C.可以找到一个实数a,使得y20

D.无论实数a取什么值,都有y20

2.(2021·福建)二次函数y=ax2-2ax+c(a0)的图象过A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3),D(4,y4)四个点,下列说法一定正确的是()

A.若y1y20,则y3y40

B.若y1y40,则y2y30

C.若y2y40,则y1y30

D.若y3y40,则y1y20

3.(2020·福建)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是二次函数y=ax2-2ax图象上的点,以下结论正确的是()

A.若|x1-1||x2-1|,则y1y2

B.若|x1-1||x2-1|,则y1y2

C.若|x1-1|=|x2-1|,则y1=y2

D.若y1=y2