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河南省豫北名校2021-2022学年高一下学期数学4月期中考试试卷

姓名：__________班级：__________考号：__________

题号

一

二

三

四

五

总分

评分

一、单选题

1．已知复数z1=2?i，z

A．?1+i B．1?2i C．2+i

2．在△ABC中，已知a=43，c=12，C=π3

A．π3 B．π6 C．π6或5π6

3．下列说法正确的是（）

A．等腰直角三角形绕其一边旋转一周所得的几何体一定是圆锥

B．过球心的平面截球面所得的圆面的圆周的半径等于球的半径

C．棱锥的侧棱一定相等

D．正三角形的平面直观图一定是等腰三角形

4．已知向量a，b，且|a|=2，|b|

A．8 B．9 C．17 D．15

5．圆台上?下底面半径分别是1?2，高为3，这个圆台的体积是（）

A．733π B．23π

6．若平面α∥平面β，直线m?平面α，点M∈平面β，则过点M且与直线m平行的直线有（）

A．0条或无数条 B．2条

C．0条或1条或无数条 D．1条

7．欧拉恒等式eiπ+1=0（i为虚数单位，e为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉公式eix=cosx+isinx的特例：当自变量x=π时，eix

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

8．已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则(2a

A．?2 B．1 C．2 D．

9．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，与直线CN平行的直线是（）

A．DE B．AB C．BF D．BM

二、多选题

10．已知△ABC的重心为O，边AB，BC，

A．OA

B．若△ABC为正三角形，则OA

C．若AO?(AB

D．OD

三、单选题

11．在正方形ABCD中，AB=2，P为BC的中点，Q为CD的中点，M为边AB上的动点（包括端点），则

A．[?1，12] B．[?1，0]

12．“莫言下岭便无难，赚得行人空喜欢．”出自南宋诗人杨万里的作品《过松源晨炊漆公店》．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形．山脚呈圆形，半径为40km．山高为4015km，B是山坡SA上一点，且AB=40

A．60km B．126km C．72km D．12

四、填空题

13．已知复数a?2ii=b+3i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则ab=

14．如图所示，平面四边形ABCD的斜二测直观图是等腰梯形ABC

15．在△ABC中，A=π4，AB=2

16．在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，以点E为球心，10为直径的球的球面记为

五、解答题

17．设ω=?1

（1）证明：(ω

（2）在复数范围内，利用公式x3?1=(x?1)(x

18．如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC=∠ACD=π3，

（1）若△ABC的面积为93

（2）在（1）的条件下，若AD=26，求cos2D

19．设向量OA=(?2，3)，OB

（1）当x=1时，以OA，OB为基底表示

（2）若OB，OC的夹角为锐角，求实数

20．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，已知sinB=

（1）证明：b2

（2）若A=2C，a=2，求△ABC的周长.

21．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F，

（1）证明：平面EFG//平面C

（2）问在线段CD上是否存在一点P，使得DQ∥平面D1PH？若存在，写出

22．在△ABC中，设A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知b=2a?2ccosB，且三角形外接圆半径为

（1）求C的大小；

（2）若△ABC的面积为23，求cos

（3）设△ABC的外接圆圆心为O，且满足cosBsinA

答案解析部分

1．【答案】D

【解析】【解答】z1

故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合复数的乘法运算法则，进而得出z1

2．【答案】B

【解析】【解答】由于ac，所以A是锐角，

由正弦定理得asinA=

解得sinA=12

故答案为：B

【分析】利用已知条件结合大边对应大角的性质，所以角A为锐角，再利用正弦定理得出角A的正弦值，再结合角A的取值范围得出角A的值。

3．【答案】B

【解析】【解答】对于A，当绕等腰三角形的斜边旋转一周所得为两个圆锥的组合体，A不符合题意，

对于B，过球心所截的截面半径最大，即为球的半径，B对，

对于C，棱锥的侧面是有公共的顶点的三角形，但是各侧棱不一定相等，C不符合题意，

对于D，正三角形的直观图中高为原来的一半且与底面成45°，其不为等腰三角形，D不符合题意.

故答案为：B

【分析】利用已知条件结合圆锥、球的截面、棱锥的结构特征，再结合斜二测画法画平