高考备考资料之数学人教A版全国用课件第十三章推理与证明算法复数133.pptx

§13.3数学归纳法

第十三章推理与证明、算法、复数

基础知识自主学习

课时作业

题型分类深度剖析

内容索引

基础知识自主学习

数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n取 (n0∈N*)时命题成立；

(2)(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当时命题也成立.

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.

知识梳理

第一个值n0

n＝k＋1

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立.()

(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()

(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.()

(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项.()

基础自测

1

2

3

4

5

6

×

×

×

×

(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝

1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.()

(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.()

1

2

3

4

5

6

√

√

题组二教材改编

2.[P99B组T1]在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于

A.1 B.2

C.3 D.4

答案

解析

√

1

2

3

4

5

6

解析凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3.

3.[P96A组T2]已知{an}满足an＋1＝，n∈N*，且a1＝2，则a2＝__，a3＝__，a4＝__，猜想an＝______.

答案

1

2

3

4

5

6

n＋1

3

4

5

解析

答案

题组三易错自纠

4.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝ (a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等式左边的项是

A.1 B.1＋a

C.1＋a＋a2 D.1＋a＋a2＋a3

1

2

3

4

5

6

解析当n＝1时，n＋1＝2，

∴左边＝1＋a1＋a2＝1＋a＋a2.

√

则上述证法

A.过程全部正确 B.n＝1验证得不正确

C.归纳假设不正确 D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

解析

答案

1

2

3

4

5

6

√

解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法.

解析

答案

1

2

3

4

5

6

6.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N*)时，假设当n＝k时命题成立，则当n＝k＋1时，左端增加的项数是___.

2k

解析运用数学归纳法证明

1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N*).

当n＝k时，则有1＋2＋3＋…＋2k＝2k－1＋22k－1(k∈N*)，左边表示的为2k项的和.

当n＝k＋1时，则

左边＝1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋…＋2k＋1，表示的为2k＋1项的和，增加了2k＋1－2k＝2k项.

题型分类深度剖析

1.用数学归纳法证明：

题型一用数学归纳法证明等式

自主演练

证明

证明(1)当n＝1时，

左边＝右边，所以等式成立.

(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有

所以当n＝k＋1时，等式也成立，

由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式恒成立.

证明

求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*).

证明(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，

(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即

f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，

那么，当n＝k＋1时，

f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)

＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k

＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，

∴当n＝k＋1时结论成立.

由(1)(2)可知当n≥2，n∈N*时，f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1].

用数学归纳法证明恒等式应注意

(1)明确初始值n0的取值并验证当n＝n0时等式成立.

(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标.

(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法.

题型二用数学归纳法证明不等式

师生共研

证明

典例设实数c0，整数p1，n∈N*.

(1)证明：当x－1且x≠0时，(1＋x)p1＋px；

证明①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x21＋2x，原不等式成立