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均值不等式的应用案例综述

均值不等式在高中数学中是一个非常重要的公式,应用于各个领域,它也是教学的重点,如果把均值不等式应用好,那它将会把许多比较困难的问题变得简单,下面将从四个方面来研究均值不等式的应用。REF_Ref25372\r\h[18]

1.1证明简单不等式问题

在各类数学竞赛、试题以及不等式的进一步研究中，不等式的证明仍然需要在中加以重视，所以在教学时应当对不等式的证明加以重视。尽管有很多方法可以证明这一点，但是如果遇到一些更复杂的问题，则很难使用通用方法。这时，如果能够使用均值不等式或将其与一般证明方法相结合，这样来解决这类问题就比较容易。

例1已知都为正数，且。求证：。

证明：由已知：都为正数

所以为正数，由均值不等式得：

当且仅当时，等号成立。

例2设都为正数，求证：。

证明：由已知都为正数，可知

即，同理可得：

所以

所以

当且仅当时，等号成立。

方法总结：在解决一些简单不等式时，使用均值不等式来证明是相当简便的。尽管也可以使用其他证明方法，但是如果遇到更复杂的问题，将不容易解决。解决这一类题时，如果能够应用均值不等式和一般证明方法相结合，就可以达到较好的效果。

1.2均值不等式在比较两数（式）的大小的应用

例1若，请比较与的大小关系。

证明：由于，所以，

所以

当且仅当，即时等号成立。

所以

方法总结:在利用均值不等式比较两数(式)的大小时,首先要观察两个式子之间的关系，选择适当的方法。应用均值不等式时，根据需要可以把式子进行拆项或者配凑。均值不等式的解题方法：均值不等式成立满足的条件一是“正数”条件，即都是正数；二是“定值”条件，即和是定值或积是定值；三是“相等”条件，即时取等号。REF_Ref17916\r\h[19]也就是，在应用均值不等式时,一定要注意是否满足条件，若条件不满足时,则应拼凑出条件，即问题一端出现“和式”,另一端出现“积式”,便于运用均值不等式。

1.3均值不等式求最值问题

例1已知求的最小值。

分析:本题虽然不能通过直接观察给出已知与结论之间的关系,但通过适当变形,使用待定系数法,将“”的两边同时加上,变形为两个分别含与的代数式的乘积,便可通过积为定值求等式求最小值。

解：

则

当且仅当时，等号成立。即取得最大值，且最大值为。

方法总结：均值不等式在求最值方面以及证明不等式方面都起着重要作用。它是高考的常考点。在不能应用均值不等式直接解决问题的情况下，有必要借助“添”、“配”、“凑”等变形方法来解决问题，使学生能够体会到均值不等式实际的应用条件。

例2已知，，则的最大值为多少？

解：因为，，

所以

当且仅当时等号成立。

所以的最大值为。

方法总结:均值不等式在各个方面得到了广泛的应用。如求最大值问题可以运用均值不等式解决。从该示例可以看出，当求乘积的最大值时，可以通过恒等变换使它们的总和恒定，然后可以进行计算得出结果。

1.4解决实际生活问题

在实际生活当中,有很多的问题都可以用到均值不等式来解决,比如求利润的最大值、投资造价费用的最小值、物体的面积体积的最值、广告投资的问题、土地有效利用的问题等等,在运用均值不等式时,首先要弄清楚己知量、确定目标变量,然后根据题意来建立构造目标函数,最后选取恰当的解题方法。REF_Ref25372\r\h[18]

例1学校操场上有一堵墙和一个100米长的围栏，工作人员计划把他们围成一个类似的矩形，如何围起来可以使这个矩形的面积达到最大？

解：设围墙的邻边长为米，围墙的对应边长为米，则最后围成的矩形场地的面积是:

当，即米时，面积最大，且最大值为1250平方米。

方法总结：如何正确、巧妙地运用均值不等式是解决生活中实际问题的关键。从示例中可以看出，在应用均值不等式时，学生必须掌握其适用条件并灵活使用。