第2.2讲 函数的单调性与最值（解析版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）.docx

第二章函数

第2.2讲函数的单调性与最值

1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.

2.掌握函数单调性的简单应用．

题型一确定函数的单调性

题型二函数单调性的应用

题型三分段函数

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数

减函数

定义

一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I?D，如果?x1，x2∈I

当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上是增函数

当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上是减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

前提

设函数y＝f(x)的定义域为D，且x0∈D

条件

?x∈D，都有f(x)≤f(x0)

?x∈D，都有f(x)≥f(x0)

结论

f(x0)为f(x)的最大值

f(x0)为f(x)的最小值

题型一确定函数的单调性

命题点1函数单调性的判断

1．下列函数中，在区间上为增函数的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】对于A选项，当时，，则在上单调递减；

对于B选项，函数在区间上不单调；

对于C选项，函数在上不单调；

对于D选项，因为函数、在上均为增函数，

所以，函数在上为增函数.

故选：D.

2．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】由题意，，

在中，函数单调递增，

∴，解得：，

故选：C.

3．下列函数中，在区间上单调递增的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，

所以在上单调递减，故A错误；

对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，

所以在上单调递减，故B错误；

对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，

所以在上单调递增，故C正确；

对于D，因为，，

显然在上不单调，D错误.

故选：C.

4．函数的单调递减区间是（????）

A． B．和

C． D．和

【答案】B

【详解】，

则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为；

当，的单调递减区间为，

故的单调递减区间是和.

故选：B

5．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】函数在上是减函数，

当时，恒成立，

而函数在区间上不单调，因此，不符合题意，

当时，函数在上单调递增，于是得函数在区间上单调递减，

因此，并且，解得，

所以实数的取值范围是.

故选：D

命题点2利用定义证明函数的单调性

6．已知定义在上的函数为奇函数．

(1)求实数的值；

(2)用函数单调性的定义证明：在上为增函数．

【详解】（1）由定义在上的函数为奇函数，

得，

解得．

（2）由（1）知，，

证明：在上任取，且，

，

，

，又，

，即，

故函数在上为增函数．

7．已知函数.

(1)用单调性定义证明函数在上为减函数；

(2)求函数在上的最大值.

【详解】（1）证明：设对任意的，则

由题设可得，，

，即.

故函数在上为减函数..

（2）由题知，

又的定义域为关于原点对称，

是奇函数.

又由（1）得在上为减函数，

在上也是减函数.

函数在上的最大值为.

8．讨论函数（）在上的单调性.

【详解】任取、，且，，则：

，

当时，，即，函数在上单调递减；

当时，，即，函数在上单调递增.

题型二函数单调性的应用

命题点1比较函数值的大小

9．设，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】，而，则，即，

所以.

故选：B

10．已知函数的定义域为，若对都有，且在上单调递减，则与的大小关系是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】因为对都有，所以

又因为在上单调递减，且，

所以，即．

故选：A．

11．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，，则，，大小关系为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】，

因为是定义在上的偶函数，

所以，

因为，，，

且在上单调递减，

所以，

即.

故选：A.

12．已知，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】由题意知，，，，，故．

故选：D.

13．已知函数且为偶函数，则（????）

A． B．

C． D．无法确定

【答案】A

【详解】因为函数且为偶函数，所以，

即，则，所以.

当时，在上是增函数，

且，所以；

当1时，在上是减函数，且，

所以.

故选：A.

命题点2解函数不等式

14．设奇函数在上为单调递增函数，且，则不等式，的解集为（????）

A