第2.3讲 函数的奇偶性、周期性（解析版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）.docx

第二章函数

第2.3讲函数的奇偶性、周期性

1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.

2.会依据函数的性质进行简单的应用．

题型一函数奇偶性的判断

题型二函数奇偶性的应用

题型三函数的周期性

题型四综合应用

1．函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果?x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数

关于y轴对称

奇函数

一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果?x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数

关于原点对称

2.周期性

(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期．

(2)最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期．

常用结论

1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．

2．函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0)．

(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f?x?)，则T＝2a(a0)．

题型一函数奇偶性的判断

1．已知函数是奇函数，则（????）

A．0 B．1 C． D．

【答案】B

【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，所以，

经验证，，故.

故选：B.

2．若函数为奇函数，则（????）

A．0 B． C． D．

【答案】B

【详解】，

因为为奇函数，所以，

即，所以，

经检验，满足题意,

所以，所以.

故选：B.

3．下列函数中，与函数的奇偶性相同的是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】定义域为R，且，故为奇函数，

A选项，定义域为R，且，故为偶函数，A错误；

B选项，定义域为，故为非奇非偶函数，B错误；

C选项，定义域为R，且，故为偶函数，C错误；

D选项，定义域为R，且，

故为奇函数，D正确.

故选：D

4．已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（????）

??

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】由图像可知，而D选项中，∴排除D选项；

又图像不关于原点对称，∴不是奇函数，

若，函数定义域为R，，为奇函数，排除A选项；

，是奇函数，∴排除C选项.

故选：B．

5．函数的图象大致为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】由可得，，，

因为，

所以函数不是奇函数，也不是偶函数，

所以函数的图象不关于轴对称，A，D错误，

又，B错误；

选项C满足以上要求.

故选：C.

题型二函数奇偶性的应用

命题点1利用奇偶性求值(解析式)

6．已知函数是奇函数，函数是偶函数．若，则（????）

A． B． C．0 D．

【答案】C

【详解】由函数是奇函数，函数是偶函数，，

故，即，

将该式和相减可得，

则，

故选：C

7．设为定义上奇函数，当时，（b为常数），则（????）

A．3 B． C．－1 D．－3

【答案】D

【详解】由于为定义上奇函数,所以,

所以当时，,

因此,

故选:D

8．已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则当时，（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】由题意知，则，

所以函数是以4为周期的周期函数，又当时，，且是定义在上的奇函数，

所以时，，，

所以当时，，.

故选：B.

9．已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】解：当时，则，所以，

又因为函数是奇函数，所以，

所以当时．

故选：B

10．若是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】因为是定义在上的奇函数，且是偶函数，

所以，即，

当时，，

所以．

故选：C

命题点2利用奇偶性解不等式

11．已知函数在上为奇函数，则不等式的解集满足（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】因为函数在上为奇函数,

所以，解得，又，

即，

所以，解得，解得，

所以，，

由与在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递增，

则不等式，即，等价于，

所以，解得，即不等式的解集为.

故选：C

12．为定义在上的偶函数，对任意的，都有，且，则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】对任意的，都有，则，

令，则在上单调递增，

因为为定义在上的偶函数，

所以，即为偶函数，

又，

由，可得，即，

所以，

所以的解集为，

故选：A.

13．函数