第2.5讲 二次函数与幂函数（原卷版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）.docx

第二章函数

第2.5讲二次函数与幂函数

1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.

2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．

题型一幂函数的概念

题型二幂函数的性质

题型三二次函数的解析式

题型四二次函数的图象与性质

1．幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．

(2)常见的五种幂函数的图象

(3)幂函数的性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；

④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．

2．二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．

零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．

(2)二次函数的图象和性质

函数

y＝ax2＋bx＋c(a0)

y＝ax2＋bx＋c(a0)

图象(抛物线)

定义域

R

值域

eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))

eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))

对称轴

x＝－eq\f(b,2a)

顶点坐标

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))

奇偶性

当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数

单调性

在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；

在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增

在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；

在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减

题型一幂函数的概念

1．已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过点，则f(9)＝（????）

A． B．

C．3 D．

2．图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（????）

A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3

3．函数的图象如图所示，则的值为（????）

??

A． B．0 C．1 D．2

4．设，，，则（???）

A． B． C． D．

5．如图所示是函数(且互质)的图象，则（????）

A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且

C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，且

题型二幂函数的性质

6．已知幂函数在上单调递减，则（????）

A．2 B．16 C． D．

7．函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且，，则的值（????）

A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断

8．点在幂函数的图象上，则函数的值域为（????）

A． B． C． D．

9．已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

10．设，表示不超过的最大整数．若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是

A．3 B．4 C．5 D．6

题型三二次函数的解析式

11．下面关于函数的说法正确的是（????）

A．恒成立 B．最大值是5 C．与y轴无交点 D．没有最小值

12．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的最小值是（????）

A． B． C．1 D．2

13．对任意的，不等式都成立，则实数a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

14．若函数的最小值为，则(????)

A． B． C． D．

15．已知函数，，函数，，对于，总，使得成立，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

题型四二次函数的图象与性质

16．指数函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（????）

??

A．?? B．??

C．?? D．??

17．已知二次函数的图像与x轴交点的横坐标为和3，则二次函数的单调递减区间为（????）．

A． B．

C． D．

18．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列判断中错误的是（????）

??

A．图象的对称轴是直线x=1

B．一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是－1，3

C．当x1时，y随x的增大而减小

D．当-1x3时，y0

19．设函数，对任意，恒成立，则实数m的取值范围是（????）

A． B． C． D．

20．对于函数，若自变量在区间上