第03讲 导数与函数的极值、最值(含新定义解答题）(分层精练）（解析版）.docx

第03讲导数与函数的极值、最值(分层精练）

A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）

A夯实基础

一、单选题

1．（2024高三·全国·专题练习）函数f（x）＝x－lnx的（）

A．极大值为1 B．极小值为1

C．极小值为－1 D．极小值为e－1

【答案】B

【解析】略

2．（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（????）

??

A．在处取得极大值 B．是函数的极值点

C．是函数的极小值点 D．函数在区间上单调递减

【答案】C

【分析】

根据导函数的正负即可求解的单调性，即可结合选项逐一求解.

【详解】由图象可知：当时，单调递减，当时，单调递增，

故是函数的极小值点，无极大值.

故选：C

3．（20-21高二上·陕西渭南·期末）已知函数的定义域为，且其导函数在内的图像如图所示，则函数在区间内的极大值点的个数为（????）

??

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】C

【分析】结合图象，根据导数大于零，即导函数的图象在轴上方，说明原函数在该区间上是单调递增，否则为减函数，极大值点两侧导数的符号，从左往右，先正后负，因此根据图象即可求得极大值点的个数．

【详解】结合函数图象，根据极大值的定义可知在该点处从左向右导数符号先正后负，

结合图象可知，函数在区间的极大值点只有.

故选：C.

4．（21-22高二下·四川成都·期中）函数在[0，3]上的最大值为（????）

A．－2 B． C．－1 D．1

【答案】B

【分析】求导，由导函数求出单调性，从而确定极大值，再求出端点值，比较得到最大值.

【详解】，

令得：或，

令得：，

故在上单调递减，在上单调递增，

所以在处取得极大值，，

又，

故在[0，3]上的最大值为.

故选：B

5．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．或

【答案】C

【分析】

借助导数研究函数单调性即可得其在何处取得最值，即可得解.

【详解】，

则当时，，当时，，

即在上单调递减，在上单调递增，

即在处取得最值，则有，

解得.

故选：C.

6．（2023高二上·江苏·专题练习）已知函数，存在最小值，则实数的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

利用导数讨论函数的性质，作出函数图形，由题意，结合图形可得，即可求解.

【详解】，，

令得，

且时，；时，，时，，

在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

又，令时，解得或，

所以其图象如下：

由图可知，时存在最小值，

所以，解得，

即实数a的取值范围为.

故选：

7．（2024·河南·一模）已知函数的导函数为，且，则的极值点为（????）

A．或 B． C．或 D．

【答案】D

【分析】

先对函数求导，先后代入和，确定函数的解析式，再通过导函数的符号确定函数的极小值点即可.

【详解】对进行求导，可得，

将代入整理，①

将代入可得，即，

将其代入①，解得：，故得.

于是，由可得或，因，

故当时，，当时，，

即是函数的极小值点，函数没有极大值.

故选：D.

8．（23-24高二下·吉林通化·阶段练习）已知函数其中，，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由题意不等式成立转化为，利用导数求最值解不等式即可.

【详解】

由于，，

，，

，，即，在上单调递增，

由任意的，都有成立，

所以，即，

，

，又，得，

则实数的取值范围为，

故选：D．

二、多选题

9．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（????）

??

A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减

C．函数在处取得极大值 D．函数有最大值

【答案】BC

【分析】

根据导数符号与原函数单调性之间的关系可得的单调性，进而逐项分析判断.

【详解】由题意可知：当时，（不恒为0）；

当时，；

所以在上单调递减，在上单调递增.

可知：A错误；B正确；

且函数在处取得极大值，故C正确；

虽然确定的单调性，但没有的解析式，故无法确定的最值，故D错误；

故选：BC.

10．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的有

A．有唯一零点

B．无最大值

C．在区间上单调递增

D．为的一个极小值点

【答案】BCD

【分析】求出函数的零点判断A；利用导数探讨函数在上的取值情况判断B；利用导数探讨单调性及极值情况判断CD.

【详解】对于A，依题意，，即和是函数的零点，A错误；

对于B，当时，令，求导得，函数在上递增，当时，，

而在上递增，值域为，

因此当时，，则无最大值，B正确；

对于C，，

令，求导得，

当时，令，则，即在上递增，

，则在上递